Какова область определения функции y = \sqrtx?

Все неотрицательные числа, x ≥ 0

Только положительные числа, x > 0

Все неположительные числа, x ≤ 0

Функция y = √x и её график — 8 класс, алгебра: объяснение и примеры

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Квадратные корни. Арифметический квадратный корень

Коротко о главном

Функция $y = \sqrt{x}$ определена только при $x \ge 0$ и принимает только неотрицательные значения. Её график — ветвь параболы, которая выходит из начала координат и идёт вправо и вверх через точки $(1;\ 1)$ , $(4;\ 2)$ , $(9;\ 3)$ .

y = \sqrt{x}, \quad x \ge 0, \quad y \ge 0

Подробное объяснение

Откуда берётся эта функция

Плитка в форме квадрата занимает 9 см². Какова длина её стороны? Ответ — 3 см, потому что $$3^2 = 9$$ . Если площадь 16 см², сторона 4 см, если 2 см² — примерно 1,4 см. Каждой площади $$S$$ соответствует ровно одна длина стороны $a = \sqrt{S}$ . Обозначим площадь буквой $$x$$ , а сторону — буквой $$y$$ и получим функцию $y = \sqrt{x}$ .

Это «обратная» задача к функции $$y = x^2$$ : там по стороне ищут площадь, здесь по площади — сторону.

Область определения и значения

Корень из отрицательного числа не существует, поэтому $$x$$ может быть только нулём или положительным числом: область определения — все $x \ge 0$ . Арифметический корень тоже не бывает отрицательным, поэтому $y \ge 0$ . Значит, весь график лежит в первой координатной четверти (и начинается в точке $(0;\ 0)$ на её границе).

Таблица значений

Удобнее всего брать $$x$$ , из которых корень извлекается точно, — квадраты чисел:

$$x$$	0	0,25	1	2,25	4	6,25	9
$$y$$	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3

Для других $$x$$ значение берут приближённо: $\sqrt{2} \approx 1{,}4$ , $\sqrt{5} \approx 2{,}2$ .

График

Отмечаем точки из таблицы и соединяем их плавной линией, начиная от начала координат. Получается ветвь параболы, «лежащая на боку».

Что видно на графике:

при $$x = 0$$ значение $$y = 0$$ — график начинается в начале координат;
большему $$x$$ соответствует большее $$y$$ : функция возрастает, график всё время идёт вверх;
растёт он всё медленнее: чтобы $$y$$ увеличился с 2 до 3, $$x$$ должен вырасти с 4 до 9;
при $$0 < x < 1$$ корень больше самого числа: $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ .

Из возрастания следует удобное правило сравнения: если $0 \le a < b$ , то $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ .

Симметрия с параболой

Возьмём точку $(2;\ 4)$ параболы $$y = x^2$$ и поменяем координаты местами — получим $(4;\ 2)$ , точку графика $y = \sqrt{x}$ . Так происходит с любой точкой: если $$b = a^2$$ и $a \ge 0$ , то $a = \sqrt{b}$ . Точки $(a;\ b)$ и $(b;\ a)$ симметричны относительно прямой $$y = x$$ , поэтому график $y = \sqrt{x}$ — это правая ветвь параболы $$y = x^2$$ , отражённая относительно этой прямой.

Как решать задачи

Проверьте, что $x \ge 0$ : при отрицательном $$x$$ функция не определена.
Чтобы найти $$y$$ по $$x$$ , извлеките корень: $y = \sqrt{x}$ .
Чтобы найти $$x$$ по $$y$$ , убедитесь, что $y \ge 0$ , и возведите в квадрат: $$x = y^2$$ .
Чтобы узнать, лежит ли точка на графике, подставьте её координаты в $y = \sqrt{x}$ и проверьте равенство.
Чтобы решить уравнение графически, постройте графики левой и правой частей в одной системе координат и найдите абсциссы точек пересечения; сделайте проверку подстановкой.

Разобранные примеры

База

Таблица значений

Условие

Найдите значения функции $y = \sqrt{x}$ при $$x = 0{,}04$$ ; $$1{,}21$$ ; $$16$$ ; $$20{,}25$$ .

Решение

$\sqrt{0{,}04} = 0{,}2$ , так как $0{,}2^2 = 0{,}04$ .

$\sqrt{1{,}21} = 1{,}1$ , так как $1{,}1^2 = 1{,}21$ .

$\sqrt{16} = 4$ ; $\sqrt{20{,}25} = 4{,}5$ , так как $4{,}5^2 = 20{,}25$ .

Ответ: 0,2; 1,1; 4; 4,5

Средний

Пересечение с горизонтальной прямой

Условие

Пересекают ли график функции $y = \sqrt{x}$ прямые $$y = 7$$ и $$y = -3$$ ? Если да, найдите точку пересечения.

Решение

Прямая $$y = 7$$ : решаем $\sqrt{x} = 7$ , получаем $$x = 49$$ . Точка пересечения $(49;\ 7)$ .

Прямая $$y = -3$$ лежит ниже оси $$x$$ , а значения функции $y = \sqrt{x}$ неотрицательны. Общих точек нет.

Ответ: y = 7 пересекает график в точке (49; 7); y = −3 не пересекает

Сложный

Графическое решение уравнения

Условие

Решите графически уравнение $\sqrt{x} = 2x - 1$ .

Решение

Строим график $y = \sqrt{x}$ по точкам $$(0;0)$$ , $$(1;1)$$ , $$(4;2)$$ и прямую $$y = 2x - 1$$ по точкам $(0;\ -1)$ и $(2;\ 3)$ .

При $$x < 0{,}5$$ прямая лежит ниже оси $$x$$ , общих точек там нет. Графики пересекаются в точке $(1;\ 1)$ . Правее неё прямая растёт быстрее, чем корень, и уходит выше графика.

Проверка: $\sqrt{1} = 1$ и $2 \cdot 1 - 1 = 1$ .

Ответ: x = 1

Типичные ошибки

Рисуют вторую ветвь слева от оси y

Почему неверно

По привычке к параболе $$y = x^2$$ график корня достраивают симметрично и влево. Но при $$x < 0$$ выражение $\sqrt{x}$ не имеет смысла, и точек графика там нет.

Как правильно

График $y = \sqrt{x}$ — только одна ветвь: он начинается в точке $(0;\ 0)$ и идёт вправо. Ниже оси $$x$$ и левее оси $$y$$ его нет.

Неверно отражают точку относительно прямой y = x

Почему неверно

Точку $(4;\ 2)$ «отражают» в $(4;\ -2)$ или $(-4;\ 2)$ — так получается симметрия относительно оси $$x$$ или оси $$y$$ , а не прямой $$y = x$$ .

Как правильно

При симметрии относительно прямой $$y = x$$ координаты меняются местами: $(4;\ 2) \to (2;\ 4)$ . Проверка: $$2^2 = 4$$ — точка лежит на параболе $$y = x^2$$ .

Думают, что корень всегда меньше числа

Почему неверно

Для $$x > 1$$ это правда ( $\sqrt{9} = 3 < 9$ ), но для $$0 < x < 1$$ — наоборот: $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5 > 0{,}25$ . Ученики проводят график ниже прямой $$y = x$$ на всём протяжении.

Как правильно

График $y = \sqrt{x}$ пересекает прямую $$y = x$$ в точках $(0;\ 0)$ и $(1;\ 1)$ . Между ними он идёт выше прямой, правее $$x = 1$$ — ниже.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Найдите значения функции $y = \sqrt{x}$ при $$x = 0{,}36$$ и при $$x = 2{,}25$$ .

Подсказка

Подберите неотрицательное число, квадрат которого равен данному.

Решение

$\sqrt{0{,}36} = 0{,}6$ , так как $0{,}6^2 = 0{,}36$ . $\sqrt{2{,}25} = 1{,}5$ , так как $1{,}5^2 = 2{,}25$ .

Ответ

0,6; 1,5

База Задача 2

При каком значении $$x$$ функция $y = \sqrt{x}$ принимает значение $$7$$ ?

Подсказка

Если $\sqrt{x} = 7$ , то $$x$$ — квадрат числа 7.

Решение

Из $\sqrt{x} = 7$ по определению арифметического корня $$x = 7^2 = 49$$ .

Ответ

x = 49

Средний Задача 3

Пересекает ли график функции $y = \sqrt{x}$ прямая $$y = 12$$ ? Если да, найдите координаты точки пересечения.

Подсказка

Число 12 положительно, а значения корня — все неотрицательные числа.

Решение

Решаем $\sqrt{x} = 12$ : $$x = 12^2 = 144$$ . Прямая пересекает график в точке $(144;\ 12)$ .

Ответ

Да, в точке (144; 12)

Средний Задача 4

Точка $(3;\ 9)$ лежит на графике функции $$y = x^2$$ . Какая точка графика $y = \sqrt{x}$ симметрична ей относительно прямой $$y = x$$ ? Проверьте, что она лежит на графике.

Подсказка

При симметрии относительно прямой $$y = x$$ координаты точки меняются местами.

Решение

Меняем координаты местами: $(9;\ 3)$ . Проверка: $\sqrt{9} = 3$ — точка лежит на графике $y = \sqrt{x}$ .

Ответ

(9; 3)

Сложный Задача 5

Решите графически уравнение $\sqrt{x} = x - 2$ .

Подсказка

Постройте график корня по точкам $$(0;0)$$ , $$(1;1)$$ , $$(4;2)$$ , $$(9;3)$$ и прямую $$y = x - 2$$ .

Решение

Прямая $$y = x - 2$$ проходит через точки $(2;\ 0)$ и $(4;\ 2)$ . Точка $(4;\ 2)$ лежит и на графике корня: $\sqrt{4} = 2$ . При $$x < 2$$ прямая ниже оси $$x$$ , а дальше растёт быстрее корня, поэтому других общих точек нет. Проверка: $\sqrt{4} = 2$ и $$4 - 2 = 2$$ .

Ответ

x = 4

Сложный Задача 6

Сколько существует целых чисел $$x$$ , для которых $\sqrt{x} < 5$ ?

Подсказка

Корень определён только при $x \ge 0$ , а $5 = \sqrt{25}$ .

Решение

Корень имеет смысл при $x \ge 0$ . Так как $5 = \sqrt{25}$ и функция $y = \sqrt{x}$ возрастает, неравенство $\sqrt{x} < \sqrt{25}$ верно при $0 \le x < 25$ . Целые числа от 0 до 24 — их 25.

Ответ

25

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте на клетчатой бумаге квадраты со стороной 1, 2 и 3 клетки и посчитайте их площади: 1, 4, 9. Спросите обратное: «Площадь 4 клетки — какая сторона?» Запишите пары «площадь → сторона»: (0; 0), (1; 1), (4; 2), (9; 3) — и отметьте их на координатной плоскости. Соединив точки плавной линией, ребёнок сам увидит, что график поднимается всё медленнее: площадь растёт быстро, а сторона — медленно.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему у графика $y = \sqrt{x}$ нет точек левее оси $$y$$ ? 2) Лежит ли на графике точка $(36;\ 6)$ ? А точка $(36;\ -6)$ ? 3) Какая точка параболы $$y = x^2$$ симметрична точке $(9;\ 3)$ относительно прямой $$y = x$$ ?

На что обратить внимание. Ребёнок должен понимать, что $$x$$ и $$y$$ здесь не бывают отрицательными, и соединять точки плавной кривой, а не ломаной. Хорошая привычка — после графического решения уравнения проверять ответ подстановкой.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Алгебра. 8 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова)	§ 14	345, 346, 347, 348, 349, 350, 351, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361