Задача 1
Условие (кратко)
(Задача-исследование.) Верно ли, что при любом натуральном n значение √(n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1) — натуральное число?
Решение
1) Проба. При \(n = 1\): \(\sqrt{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 1} = \sqrt{25} = 5\); при \(n = 2\): \(\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 + 1} = \sqrt{121} = 11\) — натуральные числа.
2) Группировка. Перемножим крайние и средние множители:
\[n(n + 3) = n^2 + 3n, \qquad (n + 1)(n + 2) = n^2 + 3n + 2.\]
Обозначим \(t = n^2 + 3n\). Тогда подкоренное выражение
\[t(t + 2) + 1 = t^2 + 2t + 1 = (t + 1)^2 = (n^2 + 3n + 1)^2.\]
3) Вывод. Так как \(n^2 + 3n + 1 > 0\),
\[\sqrt{n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1} = n^2 + 3n + 1,\]
а это натуральное число при любом натуральном \(n\). Проверка: при \(n = 1\) получаем \(1 + 3 + 1 = 5\), при \(n = 2\) — \(4 + 6 + 1 = 11\).
Ответ
Да, верно: значение корня равно n² + 3n + 1
Почему так
Произведение четырёх последовательных чисел плюс 1 — полный квадрат: (n² + 3n + 1)².
Подробнее — в теме «Квадратный корень из степени».