Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Квадратный корень из квадрата любого числа равен модулю этого числа. Для степени с чётным показателем показатель делят пополам и при необходимости ставят модуль.
Подробное объяснение
Задумали число, возвели его в квадрат и получили 49. Какое число было задумано? Это могло быть и 7, и −7. Но \(\sqrt{49}\) — всегда 7: арифметический корень по определению не бывает отрицательным. Значит, «корень отменяет квадрат» только для неотрицательных чисел, а для отрицательных возвращает число без минуса. Ровно так работает модуль.
Главное тождество
При любом значении \(x\)
Почему так. Если \(x \ge 0\), то \(x\) — неотрицательное число, квадрат которого равен \(x^2\), поэтому по определению \(\sqrt{x^2} = x\). Если \(x < 0\), то \(-x > 0\) и \((-x)^2 = x^2\), поэтому \(\sqrt{x^2} = -x\). В обоих случаях получилось \(|x|\).
Например, \(\sqrt{6^2} = 6\), а \(\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6 = |-6|\).
Корень из степени с чётным показателем
Степень с чётным показателем всегда можно записать как квадрат: \(a^{8} = (a^4)^2\), \(a^{14} = (a^7)^2\). Поэтому
Проще говоря, показатель делят пополам и ставят модуль.
Когда модуль можно опустить
Модуль убирают, только если точно известен знак выражения под ним.
- Половина показателя чётная: \(\sqrt{a^8} = |a^4| = a^4\), ведь \(a^4 \ge 0\) при любом \(a\). Модуль не нужен никогда.
- Половина показателя нечётная: \(\sqrt{a^{6}} = |a^3|\). Здесь знак зависит от \(a\). При \(a \ge 0\) получается \(a^3\), при \(a < 0\) получается \(-a^3\). Без условия на знак модуль оставляют.
- Под модулем выражение с известным знаком: \(\sqrt{(\sqrt{5} - 3)^2} = |\sqrt{5} - 3| = 3 - \sqrt{5}\), потому что \(\sqrt{5} < 3\).
Обратите внимание: запись \(-a^3\) при \(a < 0\) — положительное число. Минус перед буквой не означает, что выражение отрицательное.
Числа с большими квадратами
Тот же приём помогает извлекать корни из больших чисел без калькулятора. Разложите число на простые множители. Если все показатели чётные, разделите их пополам: \(\sqrt{3^4 \cdot 5^2} = 3^2 \cdot 5 = 45\).
Как решать
- Представьте подкоренное выражение в виде квадрата: \(x^{2n} = (x^n)^2\), \(16a^2 = (4a)^2\), \(a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2\).
- Замените корень из квадрата модулем: \(\sqrt{A^2} = |A|\).
- Определите знак выражения \(A\): по чётности показателя, по условию задачи (например, «\(x < 0\)») или сравнив числа.
- Раскройте модуль: \(|A| = A\), если \(A \ge 0\), и \(|A| = -A\), если \(A < 0\).
- Проверьте себя подстановкой: возьмите допустимое отрицательное значение переменной и убедитесь, что ответ получился неотрицательным, как и корень.
Разобранные примеры
Корень из квадрата отрицательного числа
Вычислите \(\sqrt{(-4{,}2)^2} + \sqrt{1{,}3^2}\).
\(\sqrt{(-4{,}2)^2} = |-4{,}2| = 4{,}2\), \(\sqrt{1{,}3^2} = 1{,}3\).
Сумма равна \(4{,}2 + 1{,}3 = 5{,}5\).
Упрощение при известном знаке
Упростите \(\sqrt{49m^6}\), если \(m < 0\).
\(49m^6 = (7m^3)^2\), поэтому \(\sqrt{49m^6} = |7m^3| = 7|m^3|\).
При \(m < 0\) степень \(m^3\) отрицательна, значит, \(|m^3| = -m^3\).
Получаем \(\sqrt{49m^6} = -7m^3\). Проверка: при \(m = -1\) слева \(\sqrt{49} = 7\), справа \(-7 \cdot (-1) = 7\).
Два модуля на промежутке
Упростите \(\sqrt{b^2 + 6b + 9} - \sqrt{b^2}\), если \(-3 \le b < 0\).
\(b^2 + 6b + 9 = (b + 3)^2\), поэтому выражение равно \(|b + 3| - |b|\).
При \(b \ge -3\) сумма \(b + 3 \ge 0\), значит, \(|b + 3| = b + 3\). При \(b < 0\) имеем \(|b| = -b\).
Получаем \((b + 3) - (-b) = 2b + 3\). Проверка: при \(b = -1\) слева \(\sqrt{4} - \sqrt{1} = 1\), справа \(2 \cdot (-1) + 3 = 1\).
Типичные ошибки
При \(x = -5\) слева \(\sqrt{25} = 5\), а справа \(-5\). Корень не может быть отрицательным, поэтому равенство \(\sqrt{x^2} = x\) верно только при \(x \ge 0\).
\(\sqrt{x^2} = |x|\) при любом \(x\). Убрать модуль можно, только зная знак \(x\).
Пишут \(\sqrt{a^{10}} = a^5\). Но при \(a = -1\) слева \(\sqrt{1} = 1\), а справа \(-1\).
\(\sqrt{a^{10}} = |a^5|\). Модуль опускают сразу, только если половина показателя чётная: \(\sqrt{a^{12}} = a^6\).
Пишут \(\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} = \sqrt{3} - 2\). Но \(\sqrt{3} \approx 1{,}73 < 2\), и правая часть отрицательна, а корень — нет.
\(\sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} = |\sqrt{3} - 2| = 2 - \sqrt{3}\). Сначала сравните числа под модулем, потом раскрывайте.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Чему равно \(\sqrt{(-9)^2}\)?
Показать ответ
Ответ: Б) \(9\)
\((-9)^2 = 81\), а \(\sqrt{81} = 9\). Корень из квадрата числа равен его модулю, \(|-9| = 9\).
-
Какие равенства верны при любом значении \(x\)?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) \(\sqrt{x^2} = |x|\); Б) \(\sqrt{x^4} = x^2\)
\(x^2 \ge 0\) всегда, поэтому \(\sqrt{x^4} = x^2\) без модуля. А \(x^3\) и \(x\) бывают отрицательными, там нужен модуль, \(\sqrt{x^6} = |x^3|\).
-
Вычислите \(\sqrt{2^6 \cdot 3^4}\).
Показать ответ
Ответ: 72
\(\sqrt{2^6 \cdot 3^4} = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72\) — показатели делим пополам.
-
Чему равно \(\sqrt{y^{10}}\), если \(y < 0\)?
Показать ответ
Ответ: Б) \(-y^5\)
\(\sqrt{y^{10}} = |y^5|\). При \(y < 0\) степень \(y^5\) отрицательна, поэтому \(|y^5| = -y^5\) — это положительное число.
-
Найдите значение \(\sqrt{a^2 - 6a + 9}\) при \(a = 1{,}5\).
Показать ответ
Ответ: 1,5
\(\sqrt{a^2 - 6a + 9} = |a - 3| = |1{,}5 - 3| = 1{,}5\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Вычислите \(\sqrt{(-17)^2}\).
Подсказка
Корень из квадрата числа равен модулю этого числа.
Решение
\(\sqrt{(-17)^2} = |-17| = 17\).
Ответ
Найдите значение выражения \(3\sqrt{a^2}\) при \(a = -4\).
Подсказка
Сначала замените \(\sqrt{a^2}\) на \(|a|\).
Решение
\(3\sqrt{a^2} = 3|a|\). При \(a = -4\) получаем \(3 \cdot |-4| = 3 \cdot 4 = 12\).
Ответ
Упростите выражение \(\sqrt{t^{12}}\).
Подсказка
Запишите \(t^{12}\) как квадрат степени и подумайте, может ли эта степень быть отрицательной.
Решение
\(\sqrt{t^{12}} = \sqrt{(t^6)^2} = |t^6| = t^6\), потому что степень с чётным показателем \(t^6 \ge 0\) при любом \(t\).
Ответ
Упростите выражение \(\sqrt{25p^2}\), если \(p < 0\).
Подсказка
\(25p^2 = (5p)^2\). Какой знак у \(5p\) при \(p < 0\)?
Решение
\(\sqrt{25p^2} = |5p| = 5|p|\). Так как \(p < 0\), то \(|p| = -p\), и выражение равно \(-5p\).
Ответ
Упростите выражение \(\sqrt{x^2 - 10x + 25}\), если \(x < 5\).
Подсказка
Подкоренное выражение — квадрат разности.
Решение
\(x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2\), поэтому \(\sqrt{x^2 - 10x + 25} = |x - 5|\).
При \(x < 5\) разность \(x - 5\) отрицательна, значит, \(|x - 5| = 5 - x\).
Ответ
Найдите значение выражения \(\sqrt{(2 - \sqrt{7})^2} + \sqrt{(3 - \sqrt{7})^2}\).
Подсказка
Сравните \(\sqrt{7}\) с числами 2 и 3, вспомнив, что \(4 < 7 < 9\).
Решение
Каждый корень равен модулю: \(|2 - \sqrt{7}| + |3 - \sqrt{7}|\).
Так как \(2 < \sqrt{7} < 3\), первый модуль равен \(\sqrt{7} - 2\), а второй равен \(3 - \sqrt{7}\).
Сумма: \(\sqrt{7} - 2 + 3 - \sqrt{7} = 1\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Спросите ребёнка: «Какое число в квадрате даёт 36?» Он назовёт 6, а потом, возможно, и −6. Теперь попросите посчитать \(\sqrt{(-6)^2}\) по шагам: сначала \((-6)^2 = 36\), потом \(\sqrt{36} = 6\). Минус «потерялся» — именно это и делает модуль. Отсюда правило \(\sqrt{x^2} = |x|\).
Вопросы для проверки понимания: 1) Чему равно \(\sqrt{(-2{,}5)^2}\) и почему не −2,5? 2) Нужен ли модуль в записи \(\sqrt{a^4} = a^2\)? 3) Чему равно \(\sqrt{x^2}\), если известно, что \(x < 0\)?
На что обратить внимание. Главная ошибка — забыть про модуль или раскрыть его с неправильным знаком. Попросите ребёнка проверять ответ подстановкой отрицательного числа: корень всегда должен получаться неотрицательным.