Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 487

Задача 1

Условие (кратко)

а) Упростить выражение (1 − √x)(1 + √x + x).

Решение

Это формула разности кубов: $$(p - q)(p^2 + pq + q^2) = p^3 - q^3$$ при $$p = 1$$ , $q = \sqrt{x}$ (здесь $$q^2 = x$$ ):

(1 - \sqrt{x})(1 + \sqrt{x} + x) = 1 - (\sqrt{x})^3 = 1 - x\sqrt{x}.

Ответ

1 − x√x

Почему так

Выражение сворачивается по формуле суммы или разности кубов, где одно из слагаемых — квадратный корень.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Упростить выражение (√a + 2)(a − 2√a + 4).

Решение

Формула суммы кубов: $$(p + q)(p^2 - pq + q^2) = p^3 + q^3$$ при $p = \sqrt{a}$ , $$q = 2$$ :

(\sqrt{a} + 2)(a - 2\sqrt{a} + 4) = (\sqrt{a})^3 + 8 = a\sqrt{a} + 8.

Ответ

a√a + 8

Почему так

Выражение сворачивается по формуле суммы или разности кубов, где одно из слагаемых — квадратный корень.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Упростить выражение (√m − √n)(m + n + √(mn)).

Решение

Разность кубов при $p = \sqrt{m}$ , $q = \sqrt{n}$ : $$p^2 = m$$ , $$q^2 = n$$ , $pq = \sqrt{mn}$ .

(\sqrt{m} - \sqrt{n})(m + \sqrt{mn} + n) = (\sqrt{m})^3 - (\sqrt{n})^3 = m\sqrt{m} - n\sqrt{n}.

Ответ

m√m − n√n

Почему так

Выражение сворачивается по формуле суммы или разности кубов, где одно из слагаемых — квадратный корень.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Упростить выражение (x + √y)(x² + y − x√y).

Решение

Сумма кубов при $$p = x$$ , $q = \sqrt{y}$ : $$p^2 = x^2$$ , $$q^2 = y$$ , $pq = x\sqrt{y}$ .

(x + \sqrt{y})(x^2 - x\sqrt{y} + y) = x^3 + (\sqrt{y})^3 = x^3 + y\sqrt{y}.

Ответ

x³ + y√y

Почему так

Выражение сворачивается по формуле суммы или разности кубов, где одно из слагаемых — квадратный корень.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-2/upr-487/