Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Выражения с квадратными корнями преобразуют теми же приёмами, что и многочлены: приводят подобные радикалы, применяют формулы сокращённого умножения, раскладывают на множители и сокращают дроби. Главный инструмент — равенство \((\sqrt{a})^2 = a\) при \(a \ge 0\).
Подробное объяснение
Три пакета по \(\sqrt{2}\) килограмма и ещё пять таких же пакетов — это восемь пакетов, то есть \(8\sqrt{2}\) кг. Здесь \(\sqrt{2}\) работает как единица счёта, вроде «яблока» или «пакета». А вот сложить пакет весом \(\sqrt{2}\) кг и пакет весом \(\sqrt{3}\) кг в «пакет \(\sqrt{5}\) кг» нельзя: \(\sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 3{,}15\), а \(\sqrt{5} \approx 2{,}24\). С этой мысли и начинаются все преобразования корней.
Подобные радикалы
Слагаемые вида \(3\sqrt{5}\) и \(-7\sqrt{5}\) с одинаковым выражением под корнем называют подобными радикалами. Их складывают, как подобные члены многочлена: \(3\sqrt{5} - 7\sqrt{5} = -4\sqrt{5}\).
Часто подобие спрятано. В сумме \(\sqrt{50} + \sqrt{18}\) корни разные, но если вынести множители, \(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\) и \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), сумма равна \(8\sqrt{2}\). Поэтому первым делом под корнем ищут множитель — точный квадрат: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 100.
Формулы сокращённого умножения
Корень при \(a \ge 0\) можно подставлять в любую формулу, а квадрат корня сразу заменять подкоренным выражением:
- \((\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b\) — корни исчезают;
- \((\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b\) — корень остаётся только в удвоенном произведении.
Читая формулу справа налево, раскладывают на множители. При \(x \ge 0\) разность \(x - 9\) равна \((\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)\), а число 7 можно записать как \((\sqrt{7})^2\), и тогда \(x^2 - 7 = (x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7})\). Общий множитель тоже выносят: \(5 + \sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{5} + 1)\), потому что \(5 = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}\).
Сокращение дробей
Чтобы сократить дробь, числитель и знаменатель раскладывают на множители. В дроби \(\dfrac{x - 9}{\sqrt{x} + 3}\) числитель равен \((\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)\), и после сокращения остаётся \(\sqrt{x} - 3\).
Освобождение от иррациональности в знаменателе
Дробь \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) неудобна: делить на \(1{,}414\ldots\) вручную трудно. Заменим её равной дробью без корня в знаменателе. Это называют освобождением от иррациональности в знаменателе.
- Знаменатель \(\sqrt{a}\) или \(k\sqrt{a}\): умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{a}\). Получаем \(\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
- Знаменатель \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\) или \(a - \sqrt{b}\): умножаем на сопряжённое выражение — ту же пару с другим знаком между слагаемыми. В знаменателе получится разность квадратов без корней: \(\dfrac{1}{\sqrt{3} - 1} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2}\).
После такого преобразования легко оценить значение дроби: видно, между какими целыми числами оно лежит.
Как решать
- Запишите, при каких значениях переменных выражение имеет смысл: под корнем — неотрицательные числа, знаменатель не равен нулю.
- Вынесите множители из-под знаков корня, чтобы увидеть подобные радикалы, и приведите их.
- Ищите формулы сокращённого умножения: произведение суммы и разности, квадрат суммы или разности. Заменяйте \((\sqrt{a})^2\) на \(a\).
- В дробях раскладывайте числитель и знаменатель на множители, для этого числа и переменные можно записывать как квадраты корней, и сокращайте.
- Если требуется убрать корень из знаменателя, умножьте числитель и знаменатель на корень или на сопряжённое выражение и упростите.
Разобранные примеры
Приводим подобные радикалы
Упростите выражение \(2\sqrt{50} - \sqrt{32} + \sqrt{8}\).
Вынесем множители из-под знаков корня: \(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\), \(\sqrt{32} = 4\sqrt{2}\), \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). Тогда
Сокращаем дробь с корнями
Сократите дробь \(\dfrac{x - 3}{\sqrt{x} + \sqrt{3}}\).
При \(x \ge 0\) числитель — разность квадратов: \(x - 3 = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{3})^2 = (\sqrt{x} - \sqrt{3})(\sqrt{x} + \sqrt{3})\). Сокращаем на \(\sqrt{x} + \sqrt{3}\), этот множитель положителен:
Убираем корень из знаменателя и оцениваем значение
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби \(\dfrac{7}{3 - \sqrt{2}}\) и выясните, между какими последовательными целыми числами лежит её значение.
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(3 + \sqrt{2}\). В знаменателе \(3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7\):
Так как \(1 < \sqrt{2} < 2\), получаем \(4 < 3 + \sqrt{2} < 5\).
Типичные ошибки
Пишут \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = \sqrt{25}\). Проверка сразу показывает ошибку: слева \(3 + 4 = 7\), справа \(5\). Корень из суммы не равен сумме корней.
Складывать можно только подобные радикалы, то есть коэффициенты перед одинаковым корнем: \(2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}\). Если корни разные, сначала попробуйте вынести множители, а если подобие не появилось, оставьте сумму как есть.
Пишут \((\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 = 5 + 2 = 7\). Но квадрат суммы — это не сумма квадратов. Пропущено слагаемое \(2\sqrt{5}\sqrt{2}\).
\((\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10}\). Корни пропадают только в произведении суммы и разности: \((\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 3\).
Чтобы убрать корень из \(\dfrac{1}{\sqrt{3} + 1}\), умножают числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\) или на тот же двучлен \(\sqrt{3} + 1\). В знаменателе получается \(3 + \sqrt{3}\) или \(4 + 2\sqrt{3}\) — корень остался. Ещё одна ошибка — умножить только знаменатель, тогда дробь меняет значение.
Умножать нужно и числитель, и знаменатель на сопряжённое выражение \(\sqrt{3} - 1\): \(\dfrac{\sqrt{3} - 1}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}\).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Чему равна сумма \(\sqrt{18} + \sqrt{8}\)?
Показать ответ
Ответ: Б) \(5\sqrt{2}\)
\(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) — подобные радикалы, их сумма \(5\sqrt{2}\). Складывать числа под корнем нельзя.
-
Какие выражения равны \(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) \(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\); Б) \(0{,}2\sqrt{5}\)
Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{5}\) и получим \(\dfrac{\sqrt{5}}{5} = 0{,}2\sqrt{5}\). А \(\dfrac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}\) — это другое число.
-
На какое выражение нужно умножить числитель и знаменатель дроби \(\dfrac{1}{\sqrt{7} + 2}\), чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе?
Показать ответ
Ответ: Б) \(\sqrt{7} - 2\)
Нужно сопряжённое выражение: \((\sqrt{7} + 2)(\sqrt{7} - 2) = 7 - 4 = 3\) — корня в знаменателе больше нет.
-
Вычислите \((\sqrt{11} - 3)(\sqrt{11} + 3)\).
Показать ответ
Ответ: 2
Разность квадратов: \((\sqrt{11})^2 - 3^2 = 11 - 9 = 2\).
-
Вычислите \((\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 + (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2\).
Показать ответ
Ответ: 16
Удвоенные произведения \(2\sqrt{15}\) и \(-2\sqrt{15}\) взаимно уничтожаются: \((5 + 3) + (5 + 3) = 16\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Упростите выражение \(\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48}\).
Подсказка
Вынесите множитель из-под каждого корня так, чтобы под корнем осталось 3.
Решение
\(\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = (2 + 3 - 4)\sqrt{3} = \sqrt{3}\).
Ответ
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби \(\dfrac{6}{\sqrt{3}}\).
Подсказка
Умножьте числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\).
Решение
\(\dfrac{6}{\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\).
Ответ
Упростите выражение \((\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2) + (\sqrt{3} + 1)^2\).
Подсказка
Первое произведение — разность квадратов, второе слагаемое — квадрат суммы.
Решение
\((\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2) = 7 - 4 = 3\).
\((\sqrt{3} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}\).
Сумма равна \(3 + 4 + 2\sqrt{3} = 7 + 2\sqrt{3}\).
Ответ
Сократите дробь \(\dfrac{a - 16}{\sqrt{a} - 4}\).
Подсказка
При \(a \ge 0\) число \(a\) можно записать как \((\sqrt{a})^2\).
Решение
При \(a \ge 0\), \(a \ne 16\) числитель раскладывается как разность квадратов, \(a - 16 = (\sqrt{a} - 4)(\sqrt{a} + 4)\), поэтому дробь равна \(\sqrt{a} + 4\).
Ответ
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби \(\dfrac{10}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}\).
Подсказка
Умножьте числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(\sqrt{7} + \sqrt{2}\).
Решение
\(\dfrac{10}{\sqrt{7} - \sqrt{2}} = \dfrac{10(\sqrt{7} + \sqrt{2})}{7 - 2} = 2(\sqrt{7} + \sqrt{2}) = 2\sqrt{7} + 2\sqrt{2}\).
Ответ
Найдите значение выражения \(\dfrac{1}{3 - \sqrt{8}} + \dfrac{1}{3 + \sqrt{8}}\).
Подсказка
Приведите дроби к общему знаменателю — произведению сопряжённых выражений.
Решение
Общий знаменатель \((3 - \sqrt{8})(3 + \sqrt{8}) = 9 - 8 = 1\).
Сумма равна \(\dfrac{(3 + \sqrt{8}) + (3 - \sqrt{8})}{1} = 6\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите калькулятор. Пусть ребёнок посчитает \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) и \(\sqrt{5}\) и убедится, что результаты разные. Потом \(\sqrt{8} + \sqrt{2}\) и \(3\sqrt{2}\): они совпадают, потому что \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), и корни складываются, как «два яблока плюс одно яблоко». Затем посчитайте \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) и \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\): это одно и то же число, но вторую дробь удобнее считать вручную. Это и есть освобождение от иррациональности.
Вопросы для проверки понимания: 1) Почему \(\sqrt{12} + \sqrt{3}\) можно упростить, а \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) нельзя? 2) На что умножить числитель и знаменатель дроби \(\dfrac{1}{\sqrt{6} - 2}\), чтобы убрать корень из знаменателя? 3) Чему равно \((\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)\)?
На что обратить внимание. Тема держится на трёх умениях: выносить множитель из-под корня, уверенно помнить формулы сокращённого умножения и раскладывать на множители. Если ребёнок путается, повторите сначала их. Следите, чтобы при освобождении от иррациональности на одно и то же выражение умножали и числитель, и знаменатель.