Задача 1
Условие (кратко)
а) Доказать, что √(6 + 4√2) = 2 + √2.
Решение
Возведём правую часть в квадрат:
\[(2 + \sqrt{2})^2 = 4 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + 2 = 6 + 4\sqrt{2}.\]
Число \(2 + \sqrt{2}\) положительно, а его квадрат равен подкоренному выражению \(6 + 4\sqrt{2}\). По определению арифметического квадратного корня
\[\sqrt{6 + 4\sqrt{2}} = \sqrt{(2 + \sqrt{2})^2} = 2 + \sqrt{2}.\]
Равенство доказано.
Ответ
Равенство доказано: 6 + 4√2 = (2 + √2)², а 2 + √2 > 0.
Почему так
Подкоренное выражение — полный квадрат положительного числа 2 + √2.
Подробнее — в теме «Преобразование двойных радикалов».