Когда формула двойного радикала для \sqrta ± \sqrtb (при a > 0, b > 0) даёт ответ без вложенных корней?

Когда a² − b — квадрат рационального числа

Когда b — квадрат натурального числа

Преобразование двойных радикалов

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

Коротко о главном

Двойной радикал — это корень, под которым стоит ещё один корень. Если найти числа $x \ge y \ge 0$ с суммой $$a$$ и произведением $$b$$ , то подкоренное выражение — полный квадрат, и внешний корень исчезает:

\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y}, \quad \text{где } x + y = a,\ xy = b,\ x \ge y.

Подробное объяснение

Корень внутри корня

Выражение $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$ похоже на матрёшку: корень спрятан в другом корне. Посчитать его на калькуляторе можно, но работать с ним неудобно — его трудно сравнить с другими числами, сложить, подставить в формулу. Оказывается, иногда «матрёшку» удаётся разобрать: $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{2} + 1$ . Проверим: $(\sqrt{2} + 1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$ . Это и называется «освободиться от внешнего радикала». Такие преобразования встречаются при упрощении выражений, при решении уравнений и в геометрии — например, длины отрезков в правильных многоугольниках часто получаются именно двойными радикалами. Если внешний корень удалось убрать, число становится понятнее: сразу видно, что $\sqrt{2} + 1 \approx 2{,}41$ .

Откуда берётся формула

Возведём в квадрат сумму двух корней:

(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = x + y + 2\sqrt{xy}.

Получилась сумма числа $$x + y$$ и удвоенного корня $2\sqrt{xy}$ . Значит, если в выражении $\sqrt{a + 2\sqrt{b}}$ удаётся подобрать $$x$$ и $$y$$ так, что $$x + y = a$$ и $$xy = b$$ , то под внешним корнем стоит полный квадрат. С разностью то же самое: $(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = x + y - 2\sqrt{xy}$ .

Главное условие — корень из квадрата равен модулю: $\sqrt{(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2} = |\sqrt{x} - \sqrt{y}|$ . Поэтому в разности первым пишут большее из двух чисел — тогда результат неотрицателен, как и положено арифметическому корню. Это похоже на расстояние между двумя точками на числовой прямой: оно не бывает отрицательным, сколько бы мы ни вычитали в «неправильном» порядке.

Двойка перед корнем

Формула работает, когда перед внутренним корнем стоит множитель $$2$$ . Если стоит другое число, его вносят под корень так, чтобы осталась двойка: $4\sqrt{5} = 2\sqrt{20}$ , $6\sqrt{3} = 2\sqrt{27}$ . А если двойки нет вовсе, как в $\sqrt{a + \sqrt{b}}$ , то $\sqrt{b} = 2\sqrt{b/4}$ , и нужны числа с суммой $$a$$ и произведением $\dfrac{b}{4}$ . Удобный порядок такой: сначала перебрать пары делителей числа $$b$$ , а потом среди них найти ту, у которой сумма равна $$a$$ . Например, для произведения $$12$$ пары такие: $$12$$ и $$1$$ , $$6$$ и $$2$$ , $$4$$ и $$3$$ . Если нужна сумма $$8$$ , выбираем $$6$$ и $$2$$ . Делителей обычно немного, поэтому перебор занимает меньше минуты.

Формула двойного радикала

Подбирать числа удобно, когда они маленькие. Для больших чисел есть готовая формула (при $$a > 0$$ , $$b > 0$$ , $a^2 \ge b$ ):

\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a + \sqrt{a^2 - b}}{2}} \pm \sqrt{\dfrac{a - \sqrt{a^2 - b}}{2}}.

Она избавляет от вложенного корня, только если $$a^2 - b$$ — квадрат рационального числа. Например, для $\sqrt{17 + \sqrt{288}}$ находим $$17^2 - 288 = 1$$ , и ответ $\sqrt{9} + \sqrt{8} = 3 + 2\sqrt{2}$ . Если же $$a^2 - b$$ не квадрат, внешний радикал так не убрать: например, у $\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ получается $$9 - 5 = 4$$ — квадрат, а у $\sqrt{3 + \sqrt{7}}$ получается $$9 - 7 = 2$$ , и вложенный корень остаётся. Формулу можно доказать, возведя правую часть в квадрат: удвоенное произведение корней даст как раз $\sqrt{b}$ .

Проверка условий

Прежде чем записывать ответ, проверьте три вещи. Первое: оба найденных числа $$x$$ и $$y$$ неотрицательны, иначе $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$ не имеют смысла. Второе: действительно $$x + y = a$$ и $$xy = b$$ — проще всего возвести ответ в квадрат и сравнить с подкоренным выражением. Третье: ответ неотрицателен. Если подходящих чисел нет (например, сумма $$6$$ и произведение $$7$$ не дают «хороших» чисел), это не ошибка в вычислениях: значит, выражение не упрощается таким способом, и его оставляют как есть.

Ещё один приём — возведение в квадрат

Когда двойные радикалы стоят парой, как $\sqrt{a + \sqrt{b}} \pm \sqrt{a - \sqrt{b}}$ , удобно сначала возвести всё выражение в квадрат: произведение $(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - b$ убирает внутренний корень. Потом извлекают корень из результата, не забыв проверить знак исходного выражения.

Как решать

Приведите подкоренное выражение к виду $a \pm 2\sqrt{b}$ : множитель перед внутренним корнем сделайте равным 2.
Подберите числа $x \ge y \ge 0$ , у которых $$x + y = a$$ и $$xy = b$$ . Если подобрать трудно — воспользуйтесь формулой двойного радикала и проверьте, что $$a^2 - b$$ — точный квадрат.
Запишите подкоренное выражение как $(\sqrt{x} \pm \sqrt{y})^2$ и проверьте возведением в квадрат.
Извлеките корень: $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ или $|\sqrt{x} - \sqrt{y}| = \sqrt{x} - \sqrt{y}$ при $x \ge y$ .
В выражениях с переменными раскройте модуль с учётом условия (например, $a \ge 1$ ).

Разобранные примеры

База

Подбор двух чисел

Условие

Освободитесь от внешнего радикала: $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}}$ .

Решение

Нужны числа с суммой $$7$$ и произведением $$10$$ : это $$5$$ и $$2$$ .

7 + 2\sqrt{10} = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{2})^2.

\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{5} + \sqrt{2}.

Ответ: √5 + √2

Средний

Множитель перед корнем не равен двум

Условие

Освободитесь от внешнего радикала: $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$ .

Решение

$4\sqrt{5} = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 2\sqrt{20}$ . Числа с суммой $$9$$ и произведением $$20$$ — это $$5$$ и $$4$$ .

9 - 4\sqrt{5} = (\sqrt{5} - \sqrt{4})^2 = (\sqrt{5} - 2)^2.

Так как $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$ , то $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = |\sqrt{5} - 2| = \sqrt{5} - 2$ .

Ответ: √5 − 2

Сложный

Выражение с переменной и модуль

Условие

Упростите $\sqrt{a + 3 - 4\sqrt{a - 1}}$ при $a \ge 1$ .

Решение

Запишем $$a + 3 = (a - 1) + 4$$ и $4\sqrt{a - 1} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{a - 1}$ :

a + 3 - 4\sqrt{a - 1} = (\sqrt{a - 1})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{a - 1} + 2^2 = (\sqrt{a - 1} - 2)^2.

\sqrt{a + 3 - 4\sqrt{a - 1}} = |\sqrt{a - 1} - 2|.

$\sqrt{a - 1} \ge 2$ при $a - 1 \ge 4$ , то есть при $a \ge 5$ . Тогда модуль равен $\sqrt{a - 1} - 2$ . При $1 \le a < 5$ он равен $2 - \sqrt{a - 1}$ .

Ответ: √(a − 1) − 2 при a ≥ 5; 2 − √(a − 1) при 1 ≤ a < 5

Типичные ошибки

Забывают про модуль

Почему неверно

Пишут $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = 2 - \sqrt{5}$ . Но $2 - \sqrt{5} < 0$ , а арифметический корень не бывает отрицательным. Квадраты у $2 - \sqrt{5}$ и $\sqrt{5} - 2$ одинаковые, а корень — только один из них.

Как правильно

$\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = |2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2$ . В разности первым ставят большее число; с переменными — раскрывают модуль по условию.

Берут произведение без учёта двойки

Почему неверно

В $\sqrt{8 + 4\sqrt{3}}$ ищут числа с суммой $$8$$ и произведением $$3$$ . Формула $(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 = x + y + 2\sqrt{xy}$ требует, чтобы перед корнем стояла именно двойка.

Как правильно

$4\sqrt{3} = 2\sqrt{12}$ : нужны числа с суммой $$8$$ и произведением $$12$$ — это $$6$$ и $$2$$ . Ответ: $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ . Проверка: $(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 = 8 + 2\sqrt{12} = 8 + 4\sqrt{3}$ .

Извлекают корень из суммы по частям

Почему неверно

Пишут $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{5} + \sqrt{2\sqrt{6}}$ . Корень из суммы не равен сумме корней: $\sqrt{9 + 16} = 5$ , а $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$ .

Как правильно

Сначала представить всё подкоренное выражение квадратом: $5 + 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$ , и только потом извлекать корень.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Освободитесь от внешнего радикала в выражении $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$ .

Подсказка

Подберите два числа с суммой 5 и произведением 6.

Решение

Подходят числа $$3$$ и $$2$$ , ведь $$3 + 2 = 5$$ и $3 \cdot 2 = 6$ . Значит,

5 + 2\sqrt{6} = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2, \qquad \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}.

Ответ

√3 + √2

База Задача 2

Освободитесь от внешнего радикала в выражении $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$ .

Подсказка

Сумма чисел 4, произведение 3. Не забудьте про модуль.

Решение

Подходят числа $$3$$ и $$1$$ , поэтому $4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 1)^2$ . Так как $\sqrt{3} > 1$ ,

\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = |\sqrt{3} - 1| = \sqrt{3} - 1.

Ответ

√3 − 1

Средний Задача 3

Освободитесь от внешнего радикала в выражении $\sqrt{12 + 6\sqrt{3}}$ .

Подсказка

Сначала запишите $6\sqrt{3}$ в виде $2\sqrt{b}$ .

Решение

$6\sqrt{3} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{27}$ . Ищем числа с суммой $$12$$ и произведением $$27$$ : это $$9$$ и $$3$$ .

12 + 6\sqrt{3} = (\sqrt{9} + \sqrt{3})^2 = (3 + \sqrt{3})^2, \qquad \sqrt{12 + 6\sqrt{3}} = 3 + \sqrt{3}.

Ответ

3 + √3

Средний Задача 4

Пользуясь формулой двойного радикала, упростите $\sqrt{15 - \sqrt{216}}$ .

Подсказка

Найдите $\sqrt{a^2 - b}$ при $$a = 15$$ , $$b = 216$$ .

Решение

$$a^2 - b = 225 - 216 = 9$$ , $\sqrt{9} = 3$ .

\sqrt{15 - \sqrt{216}} = \sqrt{\dfrac{15 + 3}{2}} - \sqrt{\dfrac{15 - 3}{2}} = \sqrt{9} - \sqrt{6} = 3 - \sqrt{6}.

Ответ

3 − √6

Сложный Задача 5

Найдите значение выражения $\sqrt{6 + 4\sqrt{2}} - \sqrt{6 - 4\sqrt{2}}$ .

Подсказка

$4\sqrt{2} = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2}$ , а $6 = 2^2 + (\sqrt{2})^2$ .

Решение

$6 \pm 4\sqrt{2} = 2^2 \pm 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (2 \pm \sqrt{2})^2$ . Так как $2 > \sqrt{2}$ ,

\sqrt{6 + 4\sqrt{2}} - \sqrt{6 - 4\sqrt{2}} = (2 + \sqrt{2}) - (2 - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}.

Ответ

2√2

Сложный Задача 6

Упростите выражение $\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}}$ при $1 \le x \le 2$ .

Подсказка

$x \pm 2\sqrt{x - 1} = (\sqrt{x - 1} \pm 1)^2$ . Сравните $\sqrt{x - 1}$ с единицей.

Решение

$x \pm 2\sqrt{x - 1} = (x - 1) \pm 2\sqrt{x - 1} + 1 = (\sqrt{x - 1} \pm 1)^2$ .

При $1 \le x \le 2$ имеем $0 \le x - 1 \le 1$ , то есть $\sqrt{x - 1} \le 1$ , и $|\sqrt{x - 1} - 1| = 1 - \sqrt{x - 1}$ .

(\sqrt{x - 1} + 1) + (1 - \sqrt{x - 1}) = 2.

Ответ

2

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Попросите ребёнка возвести в квадрат $\sqrt{3} + 1$ : получится $4 + 2\sqrt{3}$ . Затем задайте обратный вопрос: «А чему равен $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$ ?» — и пусть сам догадается, что ответ уже известен. Дальше — игра «угадай два числа»: сумма $$7$$ , произведение $$10$$ (ответ $$5$$ и $$2$$ ), сумма $$9$$ , произведение $$20$$ (ответ $$5$$ и $$4$$ ). Это и есть весь подбор.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$ равно $\sqrt{3} - 1$ , а не $1 - \sqrt{3}$ ? 2) Как превратить $6\sqrt{2}$ в выражение вида $2\sqrt{b}$ ? 3) Как проверить свой ответ без калькулятора?

На что обратить внимание. Тема из рубрики «Для тех, кто хочет знать больше», на контрольных встречается редко, но хорошо тренирует формулы квадрата суммы и разности. Самая частая потеря баллов — знак: ответ должен быть неотрицательным. Приучайте к проверке возведением в квадрат.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Алгебра. 8 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова)	§ 19	437, 438, 439, 440, 441, 442, 443, 444, 445, 446