Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 490

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти значение выражения x² − 6 при x = 1 + √5.

Решение

x^2 = (1 + \sqrt{5})^2 = 1 + 2\sqrt{5} + 5 = 6 + 2\sqrt{5}.

x^2 - 6 = 6 + 2\sqrt{5} - 6 = 2\sqrt{5}.

Ответ

2√5

Почему так

Квадрат суммы раскрываем по формуле (a + b)² = a² + 2ab + b².

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найти значение выражения x² − 6x при x = 3 − √3.

Решение

x^2 = (3 - \sqrt{3})^2 = 9 - 6\sqrt{3} + 3 = 12 - 6\sqrt{3}, \qquad 6x = 18 - 6\sqrt{3}.

x^2 - 6x = 12 - 6\sqrt{3} - 18 + 6\sqrt{3} = -6.

Ответ

−6

Почему так

После раскрытия квадрата разности слагаемые с √3 взаимно уничтожаются.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Найти значение выражения x² − 4x + 3 при x = 2 + √3.

Решение

Выделим полный квадрат: $$x^2 - 4x + 3 = (x - 2)^2 - 1$$ .

При $x = 2 + \sqrt{3}$ получаем $x - 2 = \sqrt{3}$ , поэтому

(x - 2)^2 - 1 = (\sqrt{3})^2 - 1 = 3 - 1 = 2.

Ответ

Почему так

Выделение полного квадрата (x − 2)² сразу убирает корень.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Найти значение выражения x² − 3x + 5 при x = (3 + √2)/2.

Решение

Выделим полный квадрат:

x^2 - 3x + 5 = \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{4} + 5 = \left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 + \dfrac{11}{4}.

При

x = \dfrac{3 + \sqrt{2}}{2}

получаем

x - \dfrac{3}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}

, поэтому

\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \dfrac{11}{4} = \dfrac{2}{4} + \dfrac{11}{4} = \dfrac{13}{4} = 3\dfrac{1}{4}.

Ответ

3 1/4

Почему так

Выделяем полный квадрат (x − 3/2)², при данном x он равен 1/2.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-2/upr-490/