Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что значения выражений √(7 + 4√3) + √(7 − 4√3) и √(7 + 4√3) · √(7 − 4√3) являются натуральными числами.
Решение
Заметим, что
\[7 + 4\sqrt{3} = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = (2 + \sqrt{3})^2, \qquad 7 - 4\sqrt{3} = (2 - \sqrt{3})^2.\]
Оба числа \(2 + \sqrt{3}\) и \(2 - \sqrt{3}\) положительны (\(\sqrt{3} < 2\)), поэтому
\[\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} = 2 + \sqrt{3}, \qquad \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}.\]
Сумма: \((2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4\).
Произведение: \((2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1\).
Числа \(4\) и \(1\) натуральные, что и требовалось доказать.
Ответ
Сумма равна 4, произведение равно 1 — оба числа натуральные.
Почему так
Подкоренные выражения — квадраты чисел 2 + √3 и 2 − √3.
Подробнее — в теме «Преобразование двойных радикалов».