Задача 1
Условие (кратко)
а) Доказать, что значение выражения 1/(3√2 − 5) − 1/(3√2 + 5) есть число рациональное.
Решение
Приведём дроби к общему знаменателю \((3\sqrt{2} - 5)(3\sqrt{2} + 5) = 18 - 25 = -7\):
\[\dfrac{1}{3\sqrt{2} - 5} - \dfrac{1}{3\sqrt{2} + 5} = \dfrac{3\sqrt{2} + 5 - 3\sqrt{2} + 5}{-7} = \dfrac{10}{-7} = -\dfrac{10}{7}.\]
Число \(-\dfrac{10}{7}\) рациональное.
Ответ
Значение равно −10/7 — число рациональное.
Почему так
Общий знаменатель — произведение сопряжённых выражений, оно рационально по формуле разности квадратов.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».