Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 493

Дополнительные упражнения к главе II

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти значение выражения 1/(11 − 2√30) − 1/(11 + 2√30).

Решение

Общий знаменатель: \((11 - 2\sqrt{30})(11 + 2\sqrt{30}) = 121 - 4 \cdot 30 = 1\).

\[\dfrac{1}{11 - 2\sqrt{30}} - \dfrac{1}{11 + 2\sqrt{30}} = \dfrac{11 + 2\sqrt{30} - 11 + 2\sqrt{30}}{1} = 4\sqrt{30}.\]

Ответ
4√30
Почему так

Знаменатели сопряжённые, их произведение по формуле разности квадратов равно 1.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найти значение выражения 5/(3 + 2√2) + 5/(3 − 2√2).

Решение

Общий знаменатель: \((3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = 9 - 8 = 1\).

\[\dfrac{5}{3 + 2\sqrt{2}} + \dfrac{5}{3 - 2\sqrt{2}} = \dfrac{5(3 - 2\sqrt{2}) + 5(3 + 2\sqrt{2})}{1} = 15 + 15 = 30.\]

Ответ
30
Почему так

Знаменатели сопряжённые, их произведение равно 1, слагаемые с √2 сокращаются.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Найти значение выражения (√5 − √3)/(√5 + √3) + (√5 + √3)/(√5 − √3).

Решение

Общий знаменатель: \((\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = 5 - 3 = 2\).

Числитель:

\[(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 + (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = (8 - 2\sqrt{15}) + (8 + 2\sqrt{15}) = 16.\]
Значение выражения: \(\dfrac{16}{2} = 8\).

Ответ
8
Почему так

Приводим к общему знаменателю 5 − 3 = 2; удвоенные произведения в квадратах взаимно уничтожаются.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Найти значение выражения (11 + √21)/(11 − √21) + (11 − √21)/(11 + √21).

Решение

Общий знаменатель: \((11 - \sqrt{21})(11 + \sqrt{21}) = 121 - 21 = 100\).

Числитель:

\[(11 + \sqrt{21})^2 + (11 - \sqrt{21})^2 = (142 + 22\sqrt{21}) + (142 - 22\sqrt{21}) = 284.\]
Значение выражения: \(\dfrac{284}{100} = 2{,}84\).

Ответ
2,84
Почему так

Приводим к общему знаменателю 121 − 21 = 100; слагаемые с √21 взаимно уничтожаются.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

Опечатка, неверный ответ, непонятное объяснение — напишите, что не так. Мы проверим и исправим.

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-2/upr-493/