Задача 1
Условие (кратко)
Найти значение дроби (x² − 3xy + y²)/(x + y + 2) при x = 3 + √5 и y = 3 − √5.
Решение
Удобно сначала найти сумму и произведение:
\[x + y = 6, \qquad xy = (3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5}) = 9 - 5 = 4.\]
Тогда \(x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 36 - 8 = 28\), и
\[\dfrac{x^2 - 3xy + y^2}{x + y + 2} = \dfrac{28 - 12}{6 + 2} = \dfrac{16}{8} = 2.\]
Ответ
2
Почему так
Выражаем числитель через x + y и xy — они рациональны.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».