Задача 1
Условие (кратко)
а) Сократить дробь (x√x − y√y)/(√x − √y).
Решение
При \(x \ge 0\), \(y \ge 0\), \(x \ne y\). Числитель — разность кубов: \(x\sqrt{x} = (\sqrt{x})^3\), \(y\sqrt{y} = (\sqrt{y})^3\).
\[(\sqrt{x})^3 - (\sqrt{y})^3 = (\sqrt{x} - \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y).\]
Сокращаем на \(\sqrt{x} - \sqrt{y}\):
\[\dfrac{x\sqrt{x} - y\sqrt{y}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} = x + \sqrt{xy} + y.\]
Ответ
x + √(xy) + y
Почему так
Числитель раскладываем по формуле разности кубов (√x)³ − (√y)³.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».