Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 496

Задача 1

Условие (кратко)

а) Сократить дробь (√a + √b)/(a√a + b√b).

Решение

При $a \ge 0$ , $b \ge 0$ , $$a$$ и $$b$$ не равны нулю одновременно. Знаменатель — сумма кубов:

a\sqrt{a} + b\sqrt{b} = (\sqrt{a})^3 + (\sqrt{b})^3 = (\sqrt{a} + \sqrt{b})(a - \sqrt{ab} + b).

Сокращаем на

\sqrt{a} + \sqrt{b}

\dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a\sqrt{a} + b\sqrt{b}} = \dfrac{1}{a - \sqrt{ab} + b}.

Ответ

1/(a − √(ab) + b)

Почему так

Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов (√a)³ + (√b)³.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Сократить дробь (a − √(3a) + 3)/(a√a + 3√3).

Решение

При $a \ge 0$ . Знаменатель — сумма кубов: $a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^3$ , $3\sqrt{3} = (\sqrt{3})^3$ .

(\sqrt{a})^3 + (\sqrt{3})^3 = (\sqrt{a} + \sqrt{3})(a - \sqrt{3a} + 3).

Второй множитель совпадает с числителем, сокращаем:

\dfrac{a - \sqrt{3a} + 3}{a\sqrt{a} + 3\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{3}}.

Ответ

1/(√a + √3)

Почему так

Знаменатель — сумма кубов (√a)³ + (√3)³, числитель — её неполный квадрат разности.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-2/upr-496/