Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 497

Задача 1

Условие (кратко)

а) Сократить дробь (√70 − √30)/(√35 − √15).

Решение

Вынесем в числителе $\sqrt{2}$ : $\sqrt{70} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{35}$ , $\sqrt{30} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{15}$ .

\dfrac{\sqrt{70} - \sqrt{30}}{\sqrt{35} - \sqrt{15}} = \dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{35} - \sqrt{15})}{\sqrt{35} - \sqrt{15}} = \sqrt{2}.

Ответ

√2

Почему так

Выносим общий множитель √2 из числителя и сокращаем.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Сократить дробь (√15 − 5)/(√6 − √10).

Решение

Числитель: $\sqrt{15} - 5 = \sqrt{5}\cdot\sqrt{3} - \sqrt{5}\cdot\sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{3} - \sqrt{5})$ .

Знаменатель: $\sqrt{6} - \sqrt{10} = \sqrt{2}(\sqrt{3} - \sqrt{5})$ .

\dfrac{\sqrt{5}(\sqrt{3} - \sqrt{5})}{\sqrt{2}(\sqrt{3} - \sqrt{5})} = \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}.

Если освободиться от корня в знаменателе, получится

\dfrac{\sqrt{10}}{2}

Ответ

√5/√2 (= √10/2)

Почему так

В числителе выносим √5, в знаменателе √2 и сокращаем общий множитель √3 − √5.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Сократить дробь (9 − 2√3)/(3√6 − 2√2).

Решение

Числитель: $9 - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}(3\sqrt{3} - 2)$ , ведь $\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 9$ .

Знаменатель: $3\sqrt{6} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}(3\sqrt{3} - 2)$ .

\dfrac{\sqrt{3}(3\sqrt{3} - 2)}{\sqrt{2}(3\sqrt{3} - 2)} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}.

Без корня в знаменателе:

\dfrac{\sqrt{6}}{2}

Ответ

√3/√2 (= √6/2)

Почему так

Представляем 9 как √3 · 3√3 и выносим общий множитель 3√3 − 2.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Сократить дробь (2√3 + 3√2 − √6)/(2 + √6 − √2).

Решение

Умножим знаменатель на $\sqrt{3}$ :

\sqrt{3}(2 + \sqrt{6} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{3} + \sqrt{18} - \sqrt{6} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6}.

Это в точности числитель. Значит,

\dfrac{2\sqrt{3} + 3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{3}(2 + \sqrt{6} - \sqrt{2})}{2 + \sqrt{6} - \sqrt{2}} = \sqrt{3}.

Ответ

√3

Почему так

Числитель равен знаменателю, умноженному на √3.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-2/upr-497/