Задание 501

При \(x \ge 0\), \(y \ge 0\), \(x \ne y\). Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{x} + \sqrt{y}\).

Знаменатель: \((\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = x - y\).

Числитель — сумма кубов: \((\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y) = (\sqrt{x})^3 + (\sqrt{y})^3 = x\sqrt{x} + y\sqrt{y}\).

При \(a \ge 0\), \(a \ne 9\). Умножим числитель и знаменатель на \(3 - \sqrt{a}\).

Знаменатель: \((3 + \sqrt{a})(3 - \sqrt{a}) = 9 - a\).

Числитель — разность кубов: \((3 - \sqrt{a})(9 + 3\sqrt{a} + a) = 27 - (\sqrt{a})^3 = 27 - a\sqrt{a}\).

При \(x \ge 0\), \(x \ne \dfrac{1}{4}\). Умножим числитель и знаменатель на \(1 + 2\sqrt{x}\).

Знаменатель: \((1 - 2\sqrt{x})(1 + 2\sqrt{x}) = 1 - 4x\).

Числитель — сумма кубов: \((1 + 2\sqrt{x})(1 - 2\sqrt{x} + 4x) = 1 + (2\sqrt{x})^3 = 1 + 8x\sqrt{x}\).

При \(b \ge 0\), \(a^2b \ne 4\). Обозначим \(t = a\sqrt{b}\), тогда \(t^2 = a^2b\), и дробь равна \(\dfrac{t^2 + 2t + 4}{t + 2}\). Умножим числитель и знаменатель на \(t - 2\):