Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 502

Задача 1

Условие (кратко)

а) Освободиться от иррациональности в числителе дроби (√x − √y)/√x. Задание повышенной трудности.

Решение

При $$x > 0$$ , $y \ge 0$ , $x \ne y$ . Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ :

\dfrac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \dfrac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = \dfrac{x - y}{x + \sqrt{xy}}.

Ответ

(x − y)/(x + √(xy))

Почему так

Умножаем на сопряжённое числителю выражение √x + √y — в числителе получается разность квадратов.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Освободиться от иррациональности в числителе дроби (a + √b)/(a√b). Задание повышенной трудности.

Решение

При $$b > 0$$ , $a \ne 0$ , $a^2 \ne b$ . Умножим числитель и знаменатель на $a - \sqrt{b}$ :

\dfrac{a + \sqrt{b}}{a\sqrt{b}} = \dfrac{(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b})}{a\sqrt{b}(a - \sqrt{b})} = \dfrac{a^2 - b}{a^2\sqrt{b} - ab}.

Ответ

(a² − b)/(a²√b − ab)

Почему так

Умножаем на сопряжённое числителю выражение a − √b.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Освободиться от иррациональности в числителе дроби (7 − √a)/(49 − 7√a + a). Задание повышенной трудности.

Решение

При $a \ge 0$ , $a \ne 49$ . Умножим числитель и знаменатель на $7 + \sqrt{a}$ .

Числитель: $(7 - \sqrt{a})(7 + \sqrt{a}) = 49 - a$ .

Знаменатель — сумма кубов: $(7 + \sqrt{a})(49 - 7\sqrt{a} + a) = 343 + (\sqrt{a})^3 = 343 + a\sqrt{a}$ .

\dfrac{7 - \sqrt{a}}{49 - 7\sqrt{a} + a} = \dfrac{49 - a}{343 + a\sqrt{a}}.

Ответ

(49 − a)/(343 + a√a)

Почему так

Умножаем на 7 + √a: числитель становится разностью квадратов, знаменатель — суммой кубов.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Освободиться от иррациональности в числителе дроби (√(mn) + 1)/(mn + √(mn) + 1). Задание повышенной трудности.

Решение

При $mn \ge 0$ , $mn \ne 1$ . Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{mn} - 1$ .

Числитель: $(\sqrt{mn} + 1)(\sqrt{mn} - 1) = mn - 1$ .

Знаменатель — разность кубов: $(\sqrt{mn} - 1)(mn + \sqrt{mn} + 1) = (\sqrt{mn})^3 - 1 = mn\sqrt{mn} - 1$ .

\dfrac{\sqrt{mn} + 1}{mn + \sqrt{mn} + 1} = \dfrac{mn - 1}{mn\sqrt{mn} - 1}.

Ответ

(mn − 1)/(mn√(mn) − 1)

Почему так

Умножаем на √(mn) − 1: числитель — разность квадратов, знаменатель — разность кубов.

Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-2/upr-502/