Задача 1
Условие (кратко)
а) Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби 1/(√2 + √3 + 1). Задание повышенной трудности.
Решение
Сгруппируем знаменатель: \((1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}\). Умножим числитель и знаменатель на \((1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3}\):
\[(1 + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{2} + 2 - 3 = 2\sqrt{2}.\]
Получили \(\dfrac{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\). Умножим ещё на \(\sqrt{2}\):
\[\dfrac{(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{2} + 2 - \sqrt{6}}{4}.\]
Ответ
(2 + √2 − √6)/4
Почему так
Группируем 1 + √2 и умножаем на сопряжённое; остаток √2 в знаменателе убираем ещё одним умножением.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».