Задача 1
Условие (кратко)
При каком значении x дробь (√x − √2)/(x − 2) принимает наибольшее значение? Задание повышенной трудности.
Решение
Дробь определена при \(x \ge 0\), \(x \ne 2\). Знаменатель — разность квадратов: \(x - 2 = (\sqrt{x} - \sqrt{2})(\sqrt{x} + \sqrt{2})\). Сократим:
\[\dfrac{\sqrt{x} - \sqrt{2}}{x - 2} = \dfrac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{2}}.\]
Дробь с положительным числителем тем больше, чем меньше знаменатель. Знаменатель \(\sqrt{x} + \sqrt{2}\) наименьший, когда наименьшее \(\sqrt{x}\), то есть при \(x = 0\).
Наибольшее значение: \(\dfrac{\sqrt{0} - \sqrt{2}}{0 - 2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Ответ
При x = 0 (наибольшее значение дроби равно √2/2).
Почему так
После сокращения дробь равна 1/(√x + √2); она наибольшая при наименьшем √x, то есть при x = 0.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».