Задача 1
Условие (кратко)
а) Упростить выражение (1/(x + x√y) + 1/(x − x√y)) · (y − 1)/2.
Решение
При \(x \ne 0\), \(y \ge 0\), \(y \ne 1\). Вынесем \(x\) в знаменателях:
\[\dfrac{1}{x(1 + \sqrt{y})} + \dfrac{1}{x(1 - \sqrt{y})} = \dfrac{1 - \sqrt{y} + 1 + \sqrt{y}}{x(1 + \sqrt{y})(1 - \sqrt{y})} = \dfrac{2}{x(1 - y)}.\]
Умножим:
\[\dfrac{2}{x(1 - y)} \cdot \dfrac{y - 1}{2} = \dfrac{y - 1}{x(1 - y)} = -\dfrac{1}{x}.\]
Ответ
−1/x
Почему так
Общий знаменатель x(1 − y) получаем по формуле разности квадратов, а (y − 1)/(1 − y) = −1.
Подробнее — в теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни».