Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что значение выражения √(b + 49 − 14√b) + √(b + 49 + 14√b) при 0 ≤ b ≤ 49 не зависит от b. Задание повышенной трудности.
Решение
Подкоренные выражения — полные квадраты:
\[b - 14\sqrt{b} + 49 = (\sqrt{b} - 7)^2, \qquad b + 14\sqrt{b} + 49 = (\sqrt{b} + 7)^2.\]
Так как \(\sqrt{x^2} = |x|\),
\[\sqrt{(\sqrt{b} - 7)^2} + \sqrt{(\sqrt{b} + 7)^2} = |\sqrt{b} - 7| + |\sqrt{b} + 7|.\]
При \(0 \le b \le 49\) имеем \(0 \le \sqrt{b} \le 7\), поэтому \(|\sqrt{b} - 7| = 7 - \sqrt{b}\), а \(|\sqrt{b} + 7| = \sqrt{b} + 7\). Сумма:
\[7 - \sqrt{b} + \sqrt{b} + 7 = 14.\]
Значение выражения равно 14 при любом \(b\) из промежутка, то есть от \(b\) не зависит.
Ответ
При 0 ≤ b ≤ 49 значение выражения всегда равно 14.
Почему так
Подкоренные выражения — квадраты √b − 7 и √b + 7, а при 0 ≤ b ≤ 49 модуль |√b − 7| равен 7 − √b.
Подробнее — в теме «Преобразование двойных радикалов».