Задача 1
Условие (кратко)
Построить график функции y = (x − 4)/(√x + 2). Задание повышенной трудности.
Решение
Область определения: \(x \ge 0\) (знаменатель \(\sqrt{x} + 2 \ge 2\) нулю не равен).
При \(x \ge 0\) числитель — разность квадратов: \(x - 4 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)\). Сократим:
\[y = \dfrac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x} + 2} = \sqrt{x} - 2, \quad x \ge 0.\]
Таблица точек:
| \(x\) | 0 | 1 | 4 | 9 |
|---|---|---|---|---|
| \(y\) | −2 | −1 | 0 | 1 |
График — ветвь параболы \(y = \sqrt{x}\), сдвинутая на 2 единицы вниз: начинается в точке \((0;\ -2)\), пересекает ось \(x\) в точке \((4;\ 0)\). Выколотых точек нет, так как знаменатель не обращается в нуль.
Ответ
y = √x − 2 при x ≥ 0: ветвь графика y = √x, сдвинутая на 2 вниз; начало в (0; −2), пересечение с осью x в (4; 0).
Почему так
Числитель x − 4 при x ≥ 0 раскладывается как (√x − 2)(√x + 2), после сокращения y = √x − 2.
Подробнее — в теме «Функция y = √x и её график».