Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 743

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение (x + 2)² + (x − 3)² = 13.

Решение

Раскроем скобки по формулам квадрата суммы и разности:

\[x^2 + 4x + 4 + x^2 - 6x + 9 = 13,\]

2x^2 - 2x + 13 = 13, \quad 2x^2 - 2x = 0.

Вынесем общий множитель:

\(2x(x - 1) = 0\)

, откуда

\(x = 0\)

или

\(x = 1\)

Ответ

x₁ = 0, x₂ = 1

Почему так

После раскрытия скобок получается неполное квадратное уравнение без свободного члена — его решают вынесением x за скобки.

Подробнее — в теме «Неполные квадратные уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить уравнение (3x − 5)² − (2x + 1)² = 24.

Решение

\[9x^2 - 30x + 25 - (4x^2 + 4x + 1) = 24,\]

5x^2 - 34x + 24 = 24, \quad 5x^2 - 34x = 0.

$$x(5x - 34) = 0$$ , откуда $$x = 0$$ или $$5x = 34$$ , $$x = 6{,}8$$ .

Ответ

x₁ = 0, x₂ = 6,8

Почему так

Раскрыв скобки и приведя подобные, получаем неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0.

Подробнее — в теме «Неполные квадратные уравнения».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить уравнение (x − 4)(x² + 4x + 16) + 28 = x²(x − 25).

Решение

Произведение $$(x - 4)(x^2 + 4x + 16)$$ — это разность кубов: $$x^3 - 64$$ . Получаем

\[x^3 - 64 + 28 = x^3 - 25x^2,\]

25x^2 = 36, \quad x^2 = \dfrac{36}{25}.

x = \pm\dfrac{6}{5} = \pm 1{,}2

Ответ

x₁ = −1,2, x₂ = 1,2

Почему так

По формуле разности кубов слагаемые x³ взаимно уничтожаются, остаётся неполное квадратное уравнение ax² = c.

Подробнее — в теме «Неполные квадратные уравнения».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить уравнение (2x + 1)(4x² − 2x + 1) − 1 = 1,6x²(5x − 2).

Решение

Произведение $$(2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)$$ — сумма кубов: $$8x^3 + 1$$ . Получаем

8x^3 + 1 - 1 = 8x^3 - 3{,}2x^2,

3{,}2x^2 = 0, \quad x = 0.

Ответ

x = 0

Почему так

По формуле суммы кубов слагаемые 8x³ сокращаются, остаётся уравнение ax² = 0 с единственным корнем 0.

Подробнее — в теме «Неполные квадратные уравнения».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-743/