Неполные квадратные уравнения

Площадь квадратной комнаты 20 м². Чему равна её сторона? Если сторона \(x\) м, то \(x^2 = 20\), или \(x^2 - 20 = 0\). Другой сюжет: мяч подбросили, и его высота через \(t\) секунд равна \(5t - 5t^2\) метров. Когда мяч вернётся на землю? Нужно решить \(5t - 5t^2 = 0\). В обоих случаях переменная стоит в квадрате — такие уравнения называют квадратными.

Что такое квадратное уравнение

Квадратное уравнение — это уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(x\) — переменная, а \(a\), \(b\), \(c\) — числа, причём \(a \ne 0\). Если \(a = 0\), слагаемое с \(x^2\) пропадает и уравнение становится линейным.

Числа \(a\), \(b\), \(c\) называют коэффициентами: \(a\) — первый коэффициент (при \(x^2\)), \(b\) — второй (при \(x\)), \(c\) — свободный член. Коэффициенты берут вместе со знаком. В уравнении \(-2x^2 + x - 9 = 0\) имеем \(a = -2\), \(b = 1\), \(c = -9\). Если слагаемого нет, его коэффициент равен нулю: в \(3x^2 - 12 = 0\) коэффициент \(b = 0\).

Квадратное уравнение с \(a = 1\) называют приведённым, например \(x^2 - 4x + 3 = 0\). Любое квадратное уравнение можно сделать приведённым: достаточно разделить обе части на \(a\). Если слагаемые записаны в другом порядке, например \(5 - x + 2x^2 = 0\), уравнение всё равно квадратное: сначала переставьте слагаемые по убыванию степеней, а потом выписывайте коэффициенты.

Три вида неполных уравнений

Если хотя бы один из коэффициентов \(b\) или \(c\) равен нулю, уравнение неполное. Видов три.

1. \(ax^2 + c = 0\), где \(c \ne 0\). Переносим \(c\) вправо и делим на \(a\): \(x^2 = -\dfrac{c}{a}\). Если число справа положительно, корней два — противоположные числа \(\pm\sqrt{-\dfrac{c}{a}}\). Если отрицательно — корней нет: квадрат не бывает отрицательным. Например, \(2x^2 - 50 = 0\) даёт \(x^2 = 25\), \(x = \pm 5\), а \(2x^2 + 50 = 0\) даёт \(x^2 = -25\) — корней нет.
2. \(ax^2 + bx = 0\), где \(b \ne 0\). Выносим \(x\) за скобки: \(x(ax + b) = 0\). Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: \(x = 0\) или \(ax + b = 0\), то есть \(x = -\dfrac{b}{a}\). Корней всегда два, и один из них — ноль. Для мяча: \(5t(1 - t) = 0\), \(t = 0\) (момент броска) или \(t = 1\) — через 1 с мяч упадёт.
3. \(ax^2 = 0\). Делим на \(a\): \(x^2 = 0\). Единственный корень \(x = 0\).

Часто уравнение сначала выглядит сложным: со скобками, с переменной в обеих частях. После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемые с \(x\) или свободные члены могут сократиться — и остаётся неполное квадратное уравнение.

Сколько корней бывает

Посмотрите, что получается в каждом виде. У \(ax^2 + c = 0\) корней либо два, либо ни одного — всё зависит от того, одинаковые или разные знаки у чисел \(a\) и \(c\). Если знаки разные (как в \(3x^2 - 12 = 0\)), корней два. Если одинаковые (как в \(3x^2 + 12 = 0\)), корней нет. У \(ax^2 + bx = 0\) корней всегда ровно два, и среди них обязательно ноль. У \(ax^2 = 0\) корень всего один — ноль. Больше двух корней квадратное уравнение иметь не может.

Найденные корни легко проверить: подставьте каждый в исходное уравнение. Если обе части стали равны, корень найден верно. Проверка особенно полезна, когда уравнение было со скобками: ошибка в знаке при раскрытии скобок встречается чаще всего.

Как решать

1. Раскройте скобки и перенесите всё в левую часть, чтобы справа остался \(0\).
2. Приведите подобные и определите коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\).
3. Если \(b = 0\) — найдите \(x^2 = -\dfrac{c}{a}\) и посмотрите на знак: два противоположных корня, \(0\) или корней нет.
4. Если \(c = 0\) — вынесите \(x\) за скобки, приравняйте каждый множитель к нулю. Не делите обе части на \(x\): так теряется корень \(0\).
5. Если \(b = 0\) и \(c = 0\) — корень один: \(x = 0\).
6. В текстовой задаче проверьте корни по смыслу: длина, время, скорость не бывают отрицательными.