Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 744

Дополнительные упражнения к главе III

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить относительно x уравнение x² = a.

Решение

Число решений зависит от знака \(a\), ведь \(x^2 \ge 0\).

  • Если \(a > 0\), то \(x = \sqrt{a}\) или \(x = -\sqrt{a}\).
  • Если \(a = 0\), то \(x^2 = 0\), \(x = 0\).
  • Если \(a < 0\), то корней нет: квадрат не может быть отрицательным.
Ответ
При a > 0 x = ±√a; при a = 0 x = 0; при a < 0 корней нет
Почему так

Уравнение x² = a имеет два корня при a > 0, один при a = 0 и ни одного при a < 0.

Подробнее — в теме «Неполные квадратные уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить относительно x уравнение x² = a².

Решение

Здесь \(a^2 \ge 0\) при любом \(a\).

  • Если \(a \ne 0\), то \(a^2 > 0\) и \(x = \sqrt{a^2} = |a|\) или \(x = -|a|\), то есть \(x = a\) или \(x = -a\).
  • Если \(a = 0\), то \(x^2 = 0\), \(x = 0\).
Ответ
При a ≠ 0 x₁ = a, x₂ = −a; при a = 0 x = 0
Почему так

Правая часть a² неотрицательна при любом a, поэтому уравнение всегда имеет корни ±a.

Подробнее — в теме «Неполные квадратные уравнения».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить относительно x уравнение x² + 4b = 0.

Решение

\(x^2 = -4b\).

  • Если \(b < 0\), то \(-4b > 0\) и \(x = \pm\sqrt{-4b} = \pm 2\sqrt{-b}\).
  • Если \(b = 0\), то \(x = 0\).
  • Если \(b > 0\), то \(-4b < 0\) — корней нет.
Ответ
При b < 0 x = ±2√(−b); при b = 0 x = 0; при b > 0 корней нет
Почему так

Переносим 4b вправо и решаем уравнение x² = −4b в зависимости от знака правой части.

Подробнее — в теме «Неполные квадратные уравнения».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить относительно x уравнение x² + 9b² = 0.

Решение

\(x^2 = -9b^2\). Левая часть неотрицательна, правая неположительна, поэтому равенство возможно, только если обе части равны нулю.

  • Если \(b = 0\), то \(x^2 = 0\), \(x = 0\).
  • Если \(b \ne 0\), то \(-9b^2 < 0\) — корней нет.
Ответ
При b = 0 x = 0; при b ≠ 0 корней нет
Почему так

Сумма неотрицательных слагаемых x² и 9b² равна нулю только тогда, когда оба равны нулю.

Подробнее — в теме «Неполные квадратные уравнения».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

Опечатка, неверный ответ, непонятное объяснение — напишите, что не так. Мы проверим и исправим.

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-744/