Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 745

Задача 1

Условие (кратко)

а) Доказать, что значение выражения a² + 4a + 11 положительно при любом a.

Решение

Выделим квадрат двучлена:

\[a^2 + 4a + 11 = a^2 + 4a + 4 + 7 = (a + 2)^2 + 7.\]

(a + 2)^2 \ge 0

, значит,

(a + 2)^2 + 7 \ge 7 > 0

при любом

\(a\)

Ответ

Доказано, a² + 4a + 11 = (a + 2)² + 7 ≥ 7

Почему так

Квадрат двучлена неотрицателен, а прибавленное положительное число делает сумму положительной.

Подробнее — в теме «Квадратный трёхчлен и его корни».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Доказать, что значение выражения (x² − 2x + 7)/19 положительно при любом x.

Решение

Выделим квадрат двучлена в числителе:

x^2 - 2x + 7 = (x - 1)^2 + 6 \ge 6 > 0.

Числитель положителен, знаменатель

\(19 > 0\)

, значит, дробь

\dfrac{(x - 1)^2 + 6}{19}

положительна при любом

\(x\)

Ответ

Доказано, числитель (x − 1)² + 6 > 0, знаменатель 19 > 0

Почему так

Частное двух положительных чисел положительно.

Подробнее — в теме «Квадратный трёхчлен и его корни».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Доказать, что значение выражения m² − 4m + 51 положительно при любом m.

Решение

\[m^2 - 4m + 51 = m^2 - 4m + 4 + 47 = (m - 2)^2 + 47.\]

Так как $(m - 2)^2 \ge 0$ , выражение не меньше 47, то есть положительно при любом $$m$$ .

Ответ

Доказано, m² − 4m + 51 = (m − 2)² + 47 ≥ 47

Почему так

После выделения квадрата двучлена видно, что выражение не меньше положительного числа 47.

Подробнее — в теме «Квадратный трёхчлен и его корни».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Доказать, что значение выражения (p² − 6p + 18)/(p² + 1) положительно при любом p.

Решение

Числитель: $p^2 - 6p + 18 = p^2 - 6p + 9 + 9 = (p - 3)^2 + 9 \ge 9 > 0$ .

Знаменатель: $p^2 + 1 \ge 1 > 0$ .

Дробь $\dfrac{(p - 3)^2 + 9}{p^2 + 1}$ — частное двух положительных чисел, поэтому положительна при любом $$p$$ (знаменатель никогда не равен нулю).

Ответ

Доказано, числитель (p − 3)² + 9 > 0, знаменатель p² + 1 > 0

Почему так

И числитель, и знаменатель — сумма неотрицательного квадрата и положительного числа.

Подробнее — в теме «Квадратный трёхчлен и его корни».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Доказать, что значение выражения 2b² − 8b + 20 положительно при любом b.

Решение

\[2b^2 - 8b + 20 = 2(b^2 - 4b + 4) + 12 = 2(b - 2)^2 + 12.\]

$2(b - 2)^2 \ge 0$ , значит, выражение не меньше 12 и положительно при любом $$b$$ .

Ответ

Доказано, 2b² − 8b + 20 = 2(b − 2)² + 12 ≥ 12

Почему так

Вынеся коэффициент 2 и выделив квадрат двучлена, получаем сумму неотрицательного и положительного чисел.

Подробнее — в теме «Квадратный трёхчлен и его корни».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Доказать, что значение выражения (2c² + 3)/(c² + 12c + 40) положительно при любом c.

Решение

Числитель: $2c^2 + 3 \ge 3 > 0$ .

Знаменатель: $c^2 + 12c + 40 = c^2 + 12c + 36 + 4 = (c + 6)^2 + 4 \ge 4 > 0$ .

Дробь — частное двух положительных чисел, поэтому положительна при любом $$c$$ (знаменатель в нуль не обращается).

Ответ

Доказано, числитель 2c² + 3 > 0, знаменатель (c + 6)² + 4 > 0

Почему так

Выделение квадрата двучлена в знаменателе показывает, что он всегда положителен.

Подробнее — в теме «Квадратный трёхчлен и его корни».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-745/