Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Квадратный трёхчлен — это многочлен \(ax^2 + bx + c\), где \(a \ne 0\). Его корни — корни уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), а сколько их, решает дискриминант. Выделив квадрат двучлена, трёхчлен записывают в виде \(a(x - m)^2 + n\) — отсюда сразу видно его наибольшее или наименьшее значение.
Подробное объяснение
Хозяйка кофейни продаёт капучино по 200 рублей, и в день берут 100 чашек. Каждое повышение цены на 10 рублей отпугивает двух покупателей. Если поднять цену \(x\) раз, выручка будет \((200 + 10x)(100 - 2x) = -20x^2 + 600x + 20\,000\). Получился квадратный трёхчлен. При какой цене выручка самая большая? Ответ даст как раз эта тема.
Что такое квадратный трёхчлен
Квадратный трёхчлен — многочлен вида \(ax^2 + bx + c\), где \(x\) — переменная, а \(a\), \(b\), \(c\) — числа, причём \(a \ne 0\). Число \(a\) называют старшим коэффициентом, \(b\) — вторым коэффициентом, \(c\) — свободным членом.
Слово «трёхчлен» не должно смущать: \(b\) или \(c\) (или оба) могут быть нулями. Например, \(5x^2 - 3x\) (\(c = 0\)) и \(2 - x^2\) (\(a = -1\), \(b = 0\), \(c = 2\)) — тоже квадратные трёхчлены. А вот \(3x + 1\) — нет: там нет \(x^2\).
Корни трёхчлена
Корень многочлена — значение переменной, при котором многочлен равен нулю. Чтобы найти корни трёхчлена \(ax^2 + bx + c\), решают уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\). Поэтому всё, что известно про квадратные уравнения, переносится сюда. Число \(D = b^2 - 4ac\) называют дискриминантом трёхчлена:
- \(D > 0\) — два корня;
- \(D = 0\) — один корень;
- \(D < 0\) — корней нет.
Проверить, корень ли данное число, ещё проще: подставьте его. Получился нуль — корень.
Выделение квадрата двучлена
Любой квадратный трёхчлен можно записать в виде \(a(x - m)^2 + n\). Делают это по формуле квадрата суммы или разности: \(x^2 + 2kx = (x + k)^2 - k^2\). Идея — «достроить» до полного квадрата: прибавить нужное число и тут же его вычесть, чтобы значение не изменилось.
Например, в \(x^2 - 8x + 3\) второй член запишем как \(2 \cdot 4 \cdot x\). Для полного квадрата \((x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16\) не хватает числа 16. Прибавим его и сразу вычтем: \(x^2 - 8x + 16 - 16 + 3 = (x - 4)^2 - 13\). Если старший коэффициент не равен 1, его сначала выносят за скобки, а потом поступают так же внутри скобок. Это преобразование ещё пригодится: на нём основаны и формула корней квадратного уравнения, и график квадратичной функции в 9 классе.
Наибольшее и наименьшее значение
Квадрат любого числа не меньше нуля: \((x - m)^2 \ge 0\), и нулю он равен только при \(x = m\). Отсюда:
- если \(a > 0\), то \(a(x - m)^2 + n \ge n\): наименьшее значение равно \(n\) при \(x = m\), наибольшего нет;
- если \(a < 0\), то \(a(x - m)^2 + n \le n\): наибольшее значение равно \(n\) при \(x = m\).
В примере с кофейней \(-20x^2 + 600x + 20\,000 = -20(x - 15)^2 + 24\,500\). Наибольшая выручка — 24 500 рублей при \(x = 15\), то есть при цене 350 рублей (продадут 70 чашек).
Тот же приём доказывает, что трёхчлен всегда положителен (или всегда отрицателен): например, \(x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1 \ge 1 > 0\) при любом \(x\).
Как решать
- Выпишите коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\) — со знаками.
- Нужны корни — решите уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) через дискриминант (или разложите, если трёхчлен неполный).
- Нужно выделить квадрат — при \(a \ne 1\) вынесите \(a\) за скобки, второй член запишите как \(2 \cdot k \cdot x\), прибавьте и вычтите \(k^2\), соберите \((x + k)^2\).
- Нужно наибольшее или наименьшее значение — выделите квадрат и посмотрите на знак \(a\): значение \(n\) достигается при \(x = m\).
- В задаче со смыслом проверьте, что найденный \(x\) допустим (сторона положительна, время неотрицательно).
Разобранные примеры
Корни трёхчлена с дробными коэффициентами
Найдите корни квадратного трёхчлена \(0{,}5x^2 - x - 4\).
Умножим уравнение \(0{,}5x^2 - x - 4 = 0\) на 2: \(x^2 - 2x - 8 = 0\).
\(D = 4 + 32 = 36\), \(x = \dfrac{2 \pm 6}{2}\), \(x_1 = 4\), \(x_2 = -2\).
Проверка: \(0{,}5 \cdot 16 - 4 - 4 = 0\).
Выделение квадрата при a ≠ 1
Выделите квадрат двучлена из трёхчлена \(3x^2 - 12x + 5\).
Вынесем 3 за скобки у первых двух членов: \(3x^2 - 12x + 5 = 3(x^2 - 4x) + 5\).
\(x^2 - 4x = x^2 - 2 \cdot 2 \cdot x + 4 - 4 = (x - 2)^2 - 4\).
\(3\bigl((x - 2)^2 - 4\bigr) + 5 = 3(x - 2)^2 - 12 + 5 = 3(x - 2)^2 - 7\).
Наибольшее значение
Мяч подбросили вверх, его высота через \(t\) с равна \(h = -5t^2 + 20t + 1{,}5\) (м). На какую наибольшую высоту поднимется мяч?
\(-5t^2 + 20t + 1{,}5 = -5(t^2 - 4t + 4) + 20 + 1{,}5 = -5(t - 2)^2 + 21{,}5\).
Так как \(-5(t - 2)^2 \le 0\), высота не больше 21,5 м и равна 21,5 м при \(t = 2\) с.
Типичные ошибки
Пишут \(x^2 - 6x + 2 = (x - 3)^2 + 2\). Но \((x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9\) — лишние 9 появились из ниоткуда, и равенство неверно (при \(x = 0\) слева 2, справа 11).
Сколько прибавили, столько и вычли: \(x^2 - 6x + 9 - 9 + 2 = (x - 3)^2 - 7\). Проверяйте подстановкой \(x = 0\): обе части должны дать одно число.
\(2x^2 - 8x + 1 = 2(x^2 - 8x) + 1\) — второй член при раскрытии скобок станет \(-16x\), а был \(-8x\).
Делить на \(a\) надо каждый член в скобках: \(2x^2 - 8x + 1 = 2(x^2 - 4x) + 1 = 2(x - 2)^2 - 8 + 1 = 2(x - 2)^2 - 7\).
Из \(-(x - 3)^2 + 4\) делают вывод «наименьшее значение 4». Но при \(a < 0\) слагаемое \(-(x - 3)^2\) только уменьшает сумму, поэтому 4 — самое большое значение, а наименьшего нет.
Смотрите на знак перед квадратом: «плюс» — значение \(n\) наименьшее, «минус» — наибольшее.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Какой из многочленов является квадратным трёхчленом?
Показать ответ
Ответ: Б) \(7 - 2x^2\)
\(7 - 2x^2 = -2x^2 + 0 \cdot x + 7\) — многочлен второй степени, у него \(a = -2\), \(b = 0\), \(c = 7\). Остальные имеют степень 3, 1 и 4.
-
Сколько корней имеет квадратный трёхчлен \(x^2 - 4x + 7\)?
Показать ответ
Ответ: 0
\(D = 16 - 28 = -12 < 0\), поэтому корней нет. Видно и по виду \((x - 2)^2 + 3 \ge 3\).
-
Чему равен трёхчлен \(x^2 - 10x + 7\) после выделения квадрата двучлена?
Показать ответ
Ответ: Б) \((x - 5)^2 - 18\)
\(x^2 - 10x + 25 - 25 + 7 = (x - 5)^2 - 18\). Число 25 прибавили, значит, его же надо вычесть.
-
Известно, что \(-x^2 + 6x - 5 = -(x - 3)^2 + 4\). Какие утверждения верны?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Наибольшее значение трёхчлена равно 4; В) Наибольшее значение достигается при x = 3; Г) Трёхчлен имеет два корня
\(-(x - 3)^2 \le 0\), поэтому всё выражение не больше 4, и 4 получается при \(x = 3\). Корни 1 и 5 — там \((x - 3)^2 = 4\).
-
Найдите наименьшее значение трёхчлена \(x^2 + 2x + 10\).
Показать ответ
Ответ: 9
\(x^2 + 2x + 10 = (x + 1)^2 + 9\); квадрат не меньше нуля, значит, наименьшее значение 9 (при \(x = -1\)).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Найдите корни квадратного трёхчлена \(x^2 - 8x + 15\).
Подсказка
Корни трёхчлена — это корни уравнения \(x^2 - 8x + 15 = 0\).
Решение
Решим уравнение \(x^2 - 8x + 15 = 0\): \(D = 64 - 60 = 4\), \(x = \dfrac{8 \pm 2}{2}\).
\(x_1 = 3\), \(x_2 = 5\).
Ответ
Является ли число 2 корнем квадратного трёхчлена \(3x^2 - 5x - 2\)?
Подсказка
Подставьте \(x = 2\) и посмотрите, получится ли нуль.
Решение
\(3 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2 - 2 = 12 - 10 - 2 = 0\). Значение равно нулю, значит, 2 — корень.
Ответ
Выделите квадрат двучлена из трёхчлена \(x^2 + 8x + 3\).
Подсказка
\(8x = 2 \cdot 4 \cdot x\). Прибавьте и вычтите \(4^2\).
Решение
\(x^2 + 8x + 3 = x^2 + 2 \cdot 4 \cdot x + 16 - 16 + 3 = (x + 4)^2 - 13\).
Ответ
Сколько корней имеет квадратный трёхчлен \(4x^2 - 12x + 9\)? Найдите их.
Подсказка
Посчитайте дискриминант \(D = b^2 - 4ac\).
Решение
\(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) — корень один.
\(x = \dfrac{12}{2 \cdot 4} = 1{,}5\). Действительно, \(4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2\).
Ответ
При каком значении \(x\) трёхчлен \(2x^2 + 12x + 25\) принимает наименьшее значение? Найдите это значение.
Подсказка
Вынесите 2 за скобки у первых двух слагаемых и выделите квадрат двучлена.
Решение
\(2x^2 + 12x + 25 = 2(x^2 + 6x + 9) - 18 + 25 = 2(x + 3)^2 + 7\).
\(2(x + 3)^2 \ge 0\) и равно нулю только при \(x = -3\). Значит, наименьшее значение равно 7 и достигается при \(x = -3\).
Ответ
Вдоль стены сарая из 40 м сетки огораживают прямоугольный участок (сетка идёт с трёх сторон). Какой наибольшей площади может быть участок?
Подсказка
Пусть две стороны, перпендикулярные стене, равны \(x\) м. Тогда третья равна \(40 - 2x\) м.
Решение
Площадь \(S = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x\).
Выделим квадрат: \(-2x^2 + 40x = -2(x^2 - 20x + 100) + 200 = -2(x - 10)^2 + 200\).
Наибольшее значение 200 достигается при \(x = 10\): участок 10 м на 20 м.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист бумаги и квадратики-«плитки»: \(x^2\) — большой квадрат, \(x\) — полоска, 1 — маленький квадратик. Выражение \(x^2 + 6x\) — это квадрат и шесть полосок. Разложите полоски по три с двух сторон квадрата — в углу не хватит \(3 \cdot 3 = 9\) квадратиков до большого квадрата \((x + 3)^2\). Отсюда \(x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9\). Это и есть выделение квадрата.
Вопросы для проверки понимания:
- Как найти корни квадратного трёхчлена и сколько их может быть?
- Чему равно наименьшее значение выражения \((x - 1)^2 + 5\) и при каком \(x\)?
- Почему у \(-2(x + 4)^2 + 3\) нет наименьшего значения?
На что обратить внимание. Главное умение темы — выделение квадрата без потери знаков и вычитаемого числа. Пусть ребёнок всегда проверяет результат подстановкой какого-нибудь числа в исходный и в полученный трёхчлен.