Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 749

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение x² − 2x − 5 = 0 и выполнить проверку.

Решение

D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24, \quad \sqrt{24} = 2\sqrt{6}.

x = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6}.

Проверка (по теореме, обратной теореме Виета): сумма $(1 - \sqrt{6}) + (1 + \sqrt{6}) = 2 = -\dfrac{-2}{1}$ , произведение $(1 - \sqrt{6})(1 + \sqrt{6}) = 1 - 6 = -5$ — равно свободному члену. Значит, найденные числа — корни уравнения.

Ответ

x₁ = 1 − √6, x₂ = 1 + √6

Почему так

Корни находят по формуле, а проверяют, сравнив их сумму и произведение с −b/a и c/a.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить уравнение x² + 4x + 1 = 0 и выполнить проверку.

Решение

D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 12, \quad \sqrt{12} = 2\sqrt{3}.

x = \dfrac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}.

Проверка: сумма $(-2 - \sqrt{3}) + (-2 + \sqrt{3}) = -4$ , произведение $(-2)^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$ . Это $-\dfrac{b}{a}$ и $\dfrac{c}{a}$ , значит, числа — корни.

Ответ

x₁ = −2 − √3, x₂ = −2 + √3

Почему так

Корни находят по формуле, а проверяют, сравнив их сумму и произведение с −b/a и c/a.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить уравнение 3y² − 4y − 2 = 0 и выполнить проверку.

Решение

D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 16 + 24 = 40, \quad \sqrt{40} = 2\sqrt{10}.

y = \dfrac{4 \pm 2\sqrt{10}}{6} = \dfrac{2 \pm \sqrt{10}}{3}.

Проверка: сумма $\dfrac{2 - \sqrt{10}}{3} + \dfrac{2 + \sqrt{10}}{3} = \dfrac{4}{3} = -\dfrac{b}{a}$ , произведение $\dfrac{4 - 10}{9} = -\dfrac{2}{3} = \dfrac{c}{a}$ . Числа — корни уравнения.

Ответ

y₁ = (2 − √10)/3, y₂ = (2 + √10)/3

Почему так

Корни находят по формуле, а проверяют, сравнив их сумму и произведение с −b/a и c/a.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить уравнение 5y² − 7y + 1 = 0 и выполнить проверку.

Решение

D = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 49 - 20 = 29.

y = \dfrac{7 \pm \sqrt{29}}{10}.

Проверка: сумма корней $\dfrac{14}{10} = \dfrac{7}{5} = -\dfrac{b}{a}$ , произведение $\dfrac{49 - 29}{100} = \dfrac{1}{5} = \dfrac{c}{a}$ . Числа — корни уравнения.

Ответ

y₁ = (7 − √29)/10, y₂ = (7 + √29)/10

Почему так

Корни находят по формуле, а проверяют, сравнив их сумму и произведение с −b/a и c/a.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Решить уравнение 2y² + 11y + 10 = 0 и выполнить проверку.

Решение

D = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = 121 - 80 = 41.

y = \dfrac{-11 \pm \sqrt{41}}{4}.

Проверка: сумма корней $-\dfrac{22}{4} = -\dfrac{11}{2} = -\dfrac{b}{a}$ , произведение $\dfrac{121 - 41}{16} = 5 = \dfrac{c}{a}$ . Числа — корни уравнения.

Ответ

y₁ = (−11 − √41)/4, y₂ = (−11 + √41)/4

Почему так

Корни находят по формуле, а проверяют, сравнив их сумму и произведение с −b/a и c/a.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Решить уравнение 4x² − 9x − 2 = 0 и выполнить проверку.

Решение

D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 81 + 32 = 113.

x = \dfrac{9 \pm \sqrt{113}}{8}.

Проверка: сумма корней $\dfrac{18}{8} = \dfrac{9}{4} = -\dfrac{b}{a}$ , произведение $\dfrac{81 - 113}{64} = -\dfrac{1}{2} = \dfrac{c}{a}$ . Числа — корни уравнения.

Ответ

x₁ = (9 − √113)/8, x₂ = (9 + √113)/8

Почему так

Корни находят по формуле, а проверяют, сравнив их сумму и произведение с −b/a и c/a.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-749/