Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Любое квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) решается по одной формуле. Сначала считают дискриминант \(D = b^2 - 4ac\): при \(D > 0\) корней два, при \(D = 0\) — один, при \(D < 0\) корней нет.
Подробное объяснение
Хозяин хочет огородить грядку площадью 40 м², у которой длина на 3 м больше ширины. Обозначим ширину \(x\), тогда \(x(x + 3) = 40\), то есть \(x^2 + 3x - 40 = 0\). Неполным такое уравнение не назовёшь: здесь есть и \(x^2\), и \(x\), и число. Подбором корень найти можно не всегда, а формула корней работает всегда.
Откуда берётся формула
Если разделить уравнение на \(a\) и выделить полный квадрат, получится
Слева квадрат, он не бывает отрицательным. Знаменатель справа \(4a^2\) положителен. Поэтому всё решает числитель \(b^2 - 4ac\). Его называют дискриминантом (по-латыни «различитель») и обозначают \(D\). Он «различает» три случая.
Три случая
- \(D > 0\). Квадрат равен положительному числу, значит, выражение в скобках равно \(\sqrt{D}/(2a)\) или \(-\sqrt{D}/(2a)\). Корней два: \(x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a}\), \(x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a}\).
- \(D = 0\). Квадрат равен нулю, корень один: \(x = -\dfrac{b}{2a}\). Формула с \(\pm\) тоже его даёт, ведь \(\pm 0\) ничего не меняет.
- \(D < 0\). Квадрат не может равняться отрицательному числу — корней нет.
Для грядки: \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -40\), \(D = 9 + 160 = 169 = 13^2\), \(x = \dfrac{-3 \pm 13}{2}\), то есть \(x = -8\) или \(x = 5\). Ширина не бывает отрицательной, поэтому грядка 5 м на 8 м.
Если второй коэффициент чётный
Когда \(b = 2k\) (например, \(b = -14\), \(k = -7\)), удобнее считать «четверть дискриминанта» \(D_1 = k^2 - ac\). Тогда
Числа получаются меньше, а дробь часто сокращать не приходится. Знак \(D_1\) совпадает со знаком \(D\), ведь \(D = 4D_1\), так что три случая те же.
Как решать
- Перенесите все члены в одну часть и запишите уравнение в виде \(ax^2 + bx + c = 0\). Если \(a < 0\), удобно умножить обе части на \(-1\); дробные коэффициенты лучше сделать целыми, умножив на общий знаменатель.
- Выпишите \(a\), \(b\), \(c\) вместе со знаками.
- Вычислите \(D = b^2 - 4ac\) (или \(D_1 = k^2 - ac\) при чётном \(b\)) и сравните с нулём.
- Если \(D < 0\), запишите «корней нет». Если \(D \ge 0\), подставьте числа в формулу.
- Упростите корни: сократите дробь, вынесите множитель из-под корня.
- Проверьте хотя бы один корень подстановкой в исходное уравнение.
Разобранные примеры
Два рациональных корня
Решите уравнение \(2x^2 - 7x + 3 = 0\).
\(a = 2\), \(b = -7\), \(c = 3\).
\(D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 > 0\), \(\sqrt{D} = 5\).
\(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{4}\), откуда \(x_1 = \dfrac{2}{4} = 0{,}5\), \(x_2 = \dfrac{12}{4} = 3\).
Формула для чётного второго коэффициента
Решите уравнение \(x^2 + 6x - 2 = 0\).
Здесь \(b = 6\), поэтому \(k = 3\).
\(D_1 = k^2 - ac = 3^2 - 1 \cdot (-2) = 9 + 2 = 11 > 0\).
\(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = -3 \pm \sqrt{11}\).
Уравнение с дробными коэффициентами
Решите уравнение \(\dfrac{x^2}{3} - \dfrac{x}{2} - 1 = 0\).
Умножим обе части на 6, чтобы избавиться от дробей: \(2x^2 - 3x - 6 = 0\).
\(D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 9 + 48 = 57 > 0\). Число 57 не является точным квадратом, поэтому корни иррациональные.
\(x_{1,2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{57}}{4}\).
Типичные ошибки
В уравнении \(x^2 - 7x + 10 = 0\) пишут \(b = 7\) или считают \(b^2 = -49\). Тогда и \(-b\) в формуле, и дискриминант выходят неверными.
Коэффициент берётся вместе со знаком: \(b = -7\). Отрицательное число возводят в квадрат в скобках: \((-7)^2 = 49\), а \(-b = 7\).
В уравнении \(3x^2 = 5x - 2\) берут \(b = 5\), \(c = -2\). Но формула написана для вида \(ax^2 + bx + c = 0\), когда справа стоит ноль.
Сначала переносим всё влево: \(3x^2 - 5x + 2 = 0\). Теперь \(a = 3\), \(b = -5\), \(c = 2\).
Пишут \(x = -b \pm \dfrac{\sqrt{D}}{2a}\), то есть делят на \(2a\) только второе слагаемое.
На \(2a\) делится весь числитель: \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Удобно сначала вычислить \(-b - \sqrt{D}\) и \(-b + \sqrt{D}\), а потом разделить каждое число на \(2a\).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Чему равен дискриминант уравнения \(2x^2 - 3x - 5 = 0\)?
Показать ответ
Ответ: В) 49
\(D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49\).
-
Сколько корней имеет квадратное уравнение, если его дискриминант равен нулю?
Показать ответ
Ответ: Б) Один
При \(D = 0\) формула даёт одно число \(x = -\dfrac{b}{2a}\).
-
Какие уравнения не имеют корней?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Уравнение x² + 2x + 5 = 0; Г) Уравнение 2x² − x + 1 = 0
Дискриминанты равны \(-16\), \(0\), \(13\) и \(-7\); корней нет там, где \(D < 0\).
-
Найдите больший корень уравнения \(x^2 - 2x - 15 = 0\).
Показать ответ
Ответ: 5
\(D_1 = 1 + 15 = 16\), \(x = 1 \pm 4\), корни \(-3\) и \(5\).
-
Вычислите \(D_1 = k^2 - ac\) для уравнения \(3x^2 - 8x + 1 = 0\).
Показать ответ
Ответ: 13
Здесь \(k = -4\), поэтому \(D_1 = 16 - 3 \cdot 1 = 13\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Решите уравнение \(3x^2 - 5x + 2 = 0\).
Подсказка
Найдите дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), помня, что \(b = -5\).
Решение
\(a = 3\), \(b = -5\), \(c = 2\).
\(D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1 > 0\), значит, корней два.
\(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 1}{6}\), откуда \(x_1 = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}\), \(x_2 = \dfrac{6}{6} = 1\).
Ответ
Сколько корней имеет уравнение \(x^2 - 4x + 7 = 0\)?
Подсказка
Достаточно знака дискриминанта, сами корни искать не нужно.
Решение
\(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 16 - 28 = -12 < 0\), поэтому уравнение корней не имеет.
Ответ
Решите уравнение \(x^2 - 10x + 22 = 0\), пользуясь формулой для чётного второго коэффициента.
Подсказка
Здесь \(b = -10 = 2k\), значит, \(k = -5\); найдите \(D_1 = k^2 - ac\).
Решение
\(k = -5\), \(D_1 = (-5)^2 - 1 \cdot 22 = 25 - 22 = 3 > 0\).
\(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = 5 \pm \sqrt{3}\).
Ответ
Решите уравнение \(16x^2 - 24x + 9 = 0\).
Подсказка
Второй коэффициент чётный, \(k = -12\).
Решение
\(D_1 = (-12)^2 - 16 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\), значит, корень один.
\(x = -\dfrac{k}{a} = \dfrac{12}{16} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\).
Ответ
Решите уравнение \((2x - 1)^2 = x + 5\).
Подсказка
Сначала раскройте скобки и приведите уравнение к виду \(ax^2 + bx + c = 0\).
Решение
\(4x^2 - 4x + 1 = x + 5\), откуда \(4x^2 - 5x - 4 = 0\).
\(D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 25 + 64 = 89 > 0\).
\(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{89}}{8}\).
Ответ
При каких значениях \(b\) уравнение \(x^2 + bx + 9 = 0\) имеет ровно один корень?
Подсказка
Один корень бывает, когда дискриминант равен нулю.
Решение
\(D = b^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = b^2 - 36\). Нужно \(D = 0\), то есть \(b^2 = 36\), откуда \(b = -6\) или \(b = 6\).
Проверка: при \(b = 6\) получаем \(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 = 0\), корень \(-3\); при \(b = -6\) — корень \(3\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Попросите ребёнка решить \(x^2 - 5x + 6 = 0\) подбором (корни 2 и 3), а потом по формуле — пусть увидит, что ответы совпали. Затем дайте \(x^2 + x + 5 = 0\): подбор ничего не даст, а дискриминант \(1 - 20 = -19\) сразу говорит, что корней нет. Так становится понятно, зачем нужен дискриминант.
Вопросы для проверки понимания: 1) Как по дискриминанту узнать число корней? 2) Почему при \(D < 0\) корней нет? 3) Когда удобна формула с \(D_1 = k^2 - ac\)?
На что обратить внимание. Чаще всего ошибаются не в формуле, а в знаках: путают \(b\) и \(-b\), неверно считают \(4ac\) при отрицательном \(c\). Приучайте выписывать \(a\), \(b\), \(c\) отдельной строкой и проверять корень подстановкой.