Задача 1
Условие (кратко)
Найти пять последовательных целых чисел, если сумма квадратов трёх первых равна сумме квадратов двух последних.
Решение
Дано
- пять последовательных целых чисел; сумма квадратов первых трёх равна сумме квадратов последних двух
Найти
- эти числа
Пусть \(n\) — первое число, тогда числа \(n\), \(n + 1\), \(n + 2\), \(n + 3\), \(n + 4\).
\[n^2 + (n + 1)^2 + (n + 2)^2 = (n + 3)^2 + (n + 4)^2,\]
\[3n^2 + 6n + 5 = 2n^2 + 14n + 25, \quad n^2 - 8n - 20 = 0.\]
\[D = 64 + 80 = 144, \quad n = \dfrac{8 \pm 12}{2}, \quad n_1 = -2, \quad n_2 = 10.\]
Оба корня — целые числа, оба подходят: числа целые, а не натуральные.
Проверка: \(10^2 + 11^2 + 12^2 = 365 = 13^2 + 14^2\); \((-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 = 5 = 1^2 + 2^2\).
Ответ
10, 11, 12, 13, 14 или −2, −1, 0, 1, 2
Почему так
Последовательные целые числа записывают как n, n + 1, n + 2, …, и условие даёт квадратное уравнение.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью квадратных уравнений».