Ширину прямоугольника обозначили за x и получили уравнение с корнями -8 и 5. Чему равна ширина?

Задача не имеет решения

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Формула корней квадратного уравнения

Коротко о главном

Многие текстовые задачи сводятся к квадратному уравнению. Неизвестную величину обозначают за $$x$$ , по условию составляют уравнение $$ax^2 + bx + c = 0$$ , решают его и оставляют только те корни, которые подходят по смыслу задачи.

\text{условие} \;\to\; \text{уравнение} \;\to\; \text{корни} \;\to\; \text{отбор по смыслу} \;\to\; \text{ответ}

Подробное объяснение

Представьте, что на даче хотят огородить грядку прямоугольной формы. Известно, что её площадь 24 м², а длина на 2 м больше ширины. Сколько сетки нужно купить? Перебором можно догадаться, что стороны 4 м и 6 м. Но если площадь будет 1200 м², а разница сторон 10 м, угадывать долго. Здесь помогает уравнение.

Как из условия получается квадратное уравнение

Обозначим ширину грядки $$x$$ м. Тогда длина $$(x + 2)$$ м, а площадь — произведение сторон:

x(x + 2) = 24, \qquad x^2 + 2x - 24 = 0.

Получилось квадратное уравнение: неизвестная умножается сама на себя. Так бывает всегда, когда в условии есть площадь, произведение двух неизвестных чисел, теорема Пифагора, число пар («каждый с каждым») или формула пути при равноускоренном движении.

Решаем по формуле корней: $$D = 4 + 96 = 100$$ , $$x_1 = -6$$ , $$x_2 = 4$$ .

Почему корней два, а ответ один

Уравнение ничего не знает о грядках — оно просто ищет числа, при которых равенство верно. Число $$-6$$ ему подходит: $(-6) \cdot (-4) = 24$ . Но ширина грядки не может быть минус шесть метров. Поэтому после решения уравнения обязательно возвращаемся к условию и спрашиваем: какие значения $$x$$ вообще возможны?

Обычные ограничения такие:

длины, площади, время, скорость — положительные числа;
количество людей, команд, рядов, предметов — натуральные числа (дробный корень тоже не подходит);
размеры не могут «не поместиться»: если из листа шириной 40 см вырезают по углам квадраты, их сторона меньше 20 см.

Бывает и так, что подходят оба корня. Например, мяч, брошенный вверх, бывает на одной высоте дважды — на подъёме и на спуске. Или задача про целые (а не натуральные) числа — тогда отрицательный корень тоже даёт решение. Поэтому корень отбрасывают не «потому что он отрицательный», а потому что он противоречит условию — и это надо сказать словами.

В нашей задаче ширина 4 м, длина 6 м, а сетки нужно $$2(4 + 6) = 20$$ м. Обратите внимание: $$x$$ — это ширина, а спрашивали про длину сетки. Ответ даём на вопрос задачи.

Как решать задачи

Прочитайте условие и решите, что удобнее обозначить за $$x$$ (обычно — меньшую или искомую величину).
Выразите остальные величины через $$x$$ : «на 4 больше» — $$x + 4$$ , «сумма 23» — $$23 - x$$ , «следующее число» — $$x + 1$$ .
Найдите в условии равенство (площадь, произведение, теорема Пифагора, число матчей) и запишите уравнение.
Приведите его к виду $$ax^2 + bx + c = 0$$ ; если все коэффициенты делятся на одно число — разделите.
Решите уравнение.
Отберите корни по смыслу: какие значения $$x$$ допустимы? Объясните, почему лишний корень не подходит.
Найдите то, о чём спрашивали, и сделайте проверку по условию.

Разобранные примеры

База

Периметр участка по площади

Условие

Площадь прямоугольного участка 96 м², длина на 4 м больше ширины. Найдите периметр участка.

Дано

$$S = 96$$ м²
длина на 4 м больше ширины

Найти

$$P$$

Решение

Пусть ширина $$x$$ м, тогда длина $$(x + 4)$$ м:

x(x + 4) = 96, \qquad x^2 + 4x - 96 = 0.

D = 16 + 384 = 400 = 20^2, \qquad x_1 = \dfrac{-4 - 20}{2} = -12, \qquad x_2 = \dfrac{-4 + 20}{2} = 8.

Ширина не может быть отрицательной, значит, $$x = 8$$ . Стороны 8 м и 12 м, проверка: $8 \cdot 12 = 96$ .

P = 2(8 + 12) = 40 \text{ м}.

Ответ: 40 м

Средний

Когда подходят оба корня

Условие

Камень бросили вертикально вверх, его высота в метрах через $$t$$ секунд равна $$h = 20t - 5t^2$$ . Когда камень будет на высоте 15 м?

Решение

Подставим $$h = 15$$ :

15 = 20t - 5t^2, \qquad 5t^2 - 20t + 15 = 0, \qquad t^2 - 4t + 3 = 0.

D = 16 - 12 = 4, \qquad t_1 = \dfrac{4 - 2}{2} = 1, \qquad t_2 = \dfrac{4 + 2}{2} = 3.

Оба значения времени положительны и оба имеют смысл: через 1 с камень проходит высоту 15 м на подъёме, через 3 с — на спуске. Проверка: $20 \cdot 3 - 5 \cdot 9 = 15$ .

Ответ: Через 1 с и через 3 с

Сложный

Дорожка вокруг клумбы

Условие

Клумбу размером 6 × 10 м окружили дорожкой одинаковой ширины. Площадь дорожки 36 м². Найдите ширину дорожки.

Решение

Пусть ширина дорожки $$x$$ м. Клумба вместе с дорожкой — прямоугольник $(6 + 2x) \times (10 + 2x)$ м. Площадь дорожки — разность площадей большого прямоугольника и клумбы:

\[(6 + 2x)(10 + 2x) - 60 = 36,\]

60 + 12x + 20x + 4x^2 - 60 - 36 = 0, \qquad 4x^2 + 32x - 36 = 0, \qquad x^2 + 8x - 9 = 0.

D = 64 + 36 = 100, \qquad x_1 = \dfrac{-8 - 10}{2} = -9, \qquad x_2 = \dfrac{-8 + 10}{2} = 1.

Ширина дорожки положительна: $$x = 1$$ . Проверка: $8 \cdot 12 - 60 = 36$ .

Ответ: 1 м

Типичные ошибки

Записывают в ответ оба корня, не глядя на условие

Почему неверно

Уравнение — только модель задачи. Оно не знает, что $$x$$ — это длина или число людей, и выдаёт все числа, при которых равенство верно. Ответ «ширина −10 см или 6 см» бессмыслен.

Как правильно

После решения уравнения выпишите, какими могут быть значения $$x$$ (положительными, натуральными, меньше ширины листа), и проверьте каждый корень. Лишний корень отбросьте и коротко объясните почему: «ширина не может быть отрицательной».

Отбрасывают отрицательный корень по привычке

Почему неверно

Отрицательный корень не всегда лишний. Если в задаче речь о целых числах, о температуре или о координате, отрицательное значение возможно. Например, три последовательных целых числа с суммой квадратов 869 — это и 16, 17, 18, и −18, −17, −16.

Как правильно

Отбирайте корни не по знаку, а по условию: подставьте корень и посмотрите, имеет ли смысл каждая величина задачи.

Отвечают не на тот вопрос

Почему неверно

За $$x$$ обозначили ширину, нашли $$x = 6$$ и записали в ответ «6 см». А спрашивали периметр или длину другой стороны.

Как правильно

Перед ответом ещё раз прочитайте вопрос задачи. Найденный $$x$$ — часто только промежуточный результат.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Произведение двух последовательных натуральных чисел равно 132. Найдите эти числа.

Подсказка

Обозначьте меньшее число за x, тогда следующее равно x + 1.

Решение

Пусть меньшее число $$x$$ , тогда большее $$x + 1$$ :

x(x + 1) = 132, \qquad x^2 + x - 132 = 0.

D = 1 + 528 = 529 = 23^2, \qquad x_1 = \dfrac{-1 - 23}{2} = -12, \qquad x_2 = \dfrac{-1 + 23}{2} = 11.

$$-12$$ не натуральное число. Числа 11 и 12.

Ответ

11 и 12

База Задача 2

Длина прямоугольника на 6 см больше ширины, а площадь равна 72 см². Найдите стороны прямоугольника.

Подсказка

Площадь — произведение длины на ширину. Отрицательная ширина не подходит.

Решение

Пусть ширина $$x$$ см, длина $$(x + 6)$$ см:

x(x + 6) = 72, \qquad x^2 + 6x - 72 = 0.

D = 36 + 288 = 324 = 18^2, \qquad x_1 = \dfrac{-6 - 18}{2} = -12, \qquad x_2 = \dfrac{-6 + 18}{2} = 6.

Ширина положительна: 6 см, длина 12 см.

Ответ

6 см и 12 см

Средний Задача 3

Мяч подбросили вертикально вверх, его высота в метрах через t секунд равна h = 25t − 5t². Через сколько секунд мяч окажется на высоте 20 м?

Подсказка

Подставьте h = 20 и разделите уравнение на 5. Проверьте, подходят ли оба корня.

Решение

20 = 25t - 5t^2, \qquad 5t^2 - 25t + 20 = 0, \qquad t^2 - 5t + 4 = 0.

D = 25 - 16 = 9, \qquad t_1 = \dfrac{5 - 3}{2} = 1, \qquad t_2 = \dfrac{5 + 3}{2} = 4.

Оба корня положительны: мяч бывает на высоте 20 м дважды — на подъёме через 1 с и на спуске через 4 с.

Ответ

Через 1 с и через 4 с

Средний Задача 4

Один катет прямоугольного треугольника на 7 см больше другого, а гипотенуза равна 13 см. Найдите катеты.

Подсказка

Воспользуйтесь теоремой Пифагора.

Решение

Пусть меньший катет $$x$$ см, больший $$(x + 7)$$ см:

x^2 + (x + 7)^2 = 13^2, \qquad 2x^2 + 14x + 49 - 169 = 0, \qquad x^2 + 7x - 60 = 0.

D = 49 + 240 = 289 = 17^2, \qquad x_1 = \dfrac{-7 - 17}{2} = -12, \qquad x_2 = \dfrac{-7 + 17}{2} = 5.

Длина положительна: катеты 5 см и 12 см.

Ответ

5 см и 12 см

Сложный Задача 5

Фотографию размером 20 × 30 см вставили в рамку одинаковой ширины. Площадь фотографии вместе с рамкой равна 1064 см². Какова ширина рамки?

Подсказка

Рамка добавляет свою ширину с обеих сторон, поэтому каждый размер увеличивается на 2x.

Решение

Пусть ширина рамки $$x$$ см. Размеры вместе с рамкой: $$(20 + 2x)$$ и $$(30 + 2x)$$ см.

(20 + 2x)(30 + 2x) = 1064, \qquad 4x^2 + 100x + 600 = 1064, \qquad x^2 + 25x - 116 = 0.

D = 625 + 464 = 1089 = 33^2, \qquad x_1 = \dfrac{-25 - 33}{2} = -29, \qquad x_2 = \dfrac{-25 + 33}{2} = 4.

Ширина положительна: 4 см. Проверка: $28 \cdot 38 = 1064$ .

Ответ

4 см

Сложный Задача 6

В турнире каждая команда сыграла с каждой два матча — дома и в гостях. Всего сыграно 90 матчей. Сколько команд участвовало?

Подсказка

Каждая из n команд провела дома по одному матчу с каждой из остальных n − 1 команд.

Решение

Пусть команд $$n$$ . Каждая сыграла дома $$n - 1$$ матч, значит, всего матчей $$n(n - 1)$$ :

n(n - 1) = 90, \qquad n^2 - n - 90 = 0.

D = 1 + 360 = 361 = 19^2, \qquad n_1 = \dfrac{1 - 19}{2} = -9, \qquad n_2 = \dfrac{1 + 19}{2} = 10.

Число команд натуральное: 10.

Ответ

10 команд

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист бумаги и спросите: «Площадь прямоугольника 24 клетки, длина на 2 клетки больше ширины — какие стороны?» Пусть ребёнок угадает (4 и 6), а потом запишет то же через $$x$$ : $$x(x + 2) = 24$$ . Решив уравнение, он получит ещё и $$-6$$ — обсудите, почему такой ширины не бывает. Главная мысль: уравнение находит все подходящие числа, а выбрать нужное должен человек.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему у задачи про площадь получилось квадратное уравнение, а не линейное? 2) Когда отрицательный корень может быть ответом? 3) Почему мяч бывает на одной высоте два раза?

На что обратить внимание. Ребёнок должен словами объяснять, почему отбросил корень, и отвечать именно на вопрос задачи. Полезная привычка — проверка найденного ответа по условию, а не по уравнению: так ловятся и ошибки в составлении уравнения.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Алгебра. 8 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова)	§ 22	557, 558, 559, 560, 561, 562, 563, 564, 565, 566, 567, 568, 569, 570, 571, 572, 573, 574, 575, 576, 577