Задача 1
Условие (кратко)
Квадрат суммы двух последовательных натуральных чисел больше суммы их квадратов на 112. Найти эти числа.
Решение
Дано
- два последовательных натуральных числа; квадрат их суммы больше суммы квадратов на 112
Найти
- эти числа
Пусть \(n\) и \(n + 1\) — эти числа.
\[(2n + 1)^2 - \bigl(n^2 + (n + 1)^2\bigr) = 112,\]
\[4n^2 + 4n + 1 - 2n^2 - 2n - 1 = 112, \quad 2n^2 + 2n = 112, \quad n^2 + n - 56 = 0.\]
\[D = 1 + 224 = 225, \quad n = \dfrac{-1 \pm 15}{2}, \quad n_1 = -8, \quad n_2 = 7.\]
\(-8\) не натуральное число — не подходит. Значит, \(n = 7\), числа 7 и 8.
Проверка: \(15^2 - (49 + 64) = 225 - 113 = 112\).
Ответ
7 и 8
Почему так
Разность квадрата суммы и суммы квадратов равна удвоенному произведению чисел, что приводит к квадратному уравнению.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью квадратных уравнений».