Задача 1
Условие (кратко)
Длина листа картона в 1,5 раза больше ширины. Вырезав по углам квадраты со стороной 8 см, получают открытую коробку объёмом 6080 см³. Найти размеры листа.
Решение
Дано
- длина листа в 1,5 раза больше ширины
- по углам вырезают квадраты со стороной 8 см
- объём коробки 6080 см³
Найти
- длину и ширину листа
Пусть ширина листа \(x\) см, длина \(1{,}5x\) см. Дно коробки — прямоугольник \((1{,}5x - 16) \times (x - 16)\) см, высота 8 см.
\[8(1{,}5x - 16)(x - 16) = 6080, \quad (1{,}5x - 16)(x - 16) = 760,\]
\[1{,}5x^2 - 40x + 256 = 760, \quad 1{,}5x^2 - 40x - 504 = 0, \quad 3x^2 - 80x - 1008 = 0.\]
\[D = 6400 + 12\,096 = 18\,496 = 136^2, \quad x = \dfrac{80 \pm 136}{6}.\]
\(x_1 = 36\), \(x_2 = -\dfrac{28}{3}\) — отрицательный корень не подходит (ширина положительна). Значит, ширина 36 см, длина \(1{,}5 \cdot 36 = 54\) см.
Проверка: дно \(38 \times 20\) см, \(38 \cdot 20 \cdot 8 = 6080\) см³.
Ответ
54 см и 36 см
Почему так
Стороны дна коробки меньше сторон листа на две стороны вырезанного квадрата, а высота коробки равна стороне квадрата.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью квадратных уравнений».