Задача 1
Условие (кратко)
Разность кубов двух последовательных натуральных чисел равна 919. Найти эти числа.
Решение
Дано
- два последовательных натуральных числа
- разность их кубов равна 919
Найти
- эти числа
Пусть меньшее число \(n\), тогда большее \(n + 1\) (\(n\) — натуральное). Разность кубов:
\[(n + 1)^3 - n^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1.\]
Уравнение: \(3n^2 + 3n + 1 = 919\), то есть \(3n^2 + 3n - 918 = 0\), или \(n^2 + n - 306 = 0\).
\(D = 1 + 4 \cdot 306 = 1225 = 35^2\), \(n_1 = \dfrac{-1 + 35}{2} = 17\), \(n_2 = \dfrac{-1 - 35}{2} = -18\).
Число \(-18\) не натуральное — отбрасываем. Значит, \(n = 17\), второе число \(18\).
Проверка: \(18^3 - 17^3 = 5832 - 4913 = 919\).
Ответ
17 и 18
Почему так
Куб суммы раскрывается по формуле, и задача сводится к квадратному уравнению; отрицательный корень не подходит по смыслу.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью квадратных уравнений».