Задача 1
Условие (кратко)
Разность кубов двух последовательных нечётных натуральных чисел равна 866. Найти эти числа.
Решение
Дано
- два последовательных нечётных натуральных числа
- разность их кубов равна 866
Найти
- эти числа
Пусть меньшее число \(n\), тогда следующее нечётное \(n + 2\). Разность кубов:
\[(n + 2)^3 - n^3 = 6n^2 + 12n + 8.\]
Уравнение: \(6n^2 + 12n + 8 = 866\), \(6n^2 + 12n - 858 = 0\), \(n^2 + 2n - 143 = 0\).
\(\dfrac{D}{4} = 1 + 143 = 144\), \(n = -1 \pm 12\), то есть \(n_1 = 11\), \(n_2 = -13\).
Число \(-13\) не натуральное — отбрасываем. Значит, числа \(11\) и \(13\).
Проверка: \(13^3 - 11^3 = 2197 - 1331 = 866\).
Ответ
11 и 13
Почему так
Соседние нечётные числа отличаются на 2; после раскрытия куба получается квадратное уравнение.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью квадратных уравнений».