Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 764

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение x² − 5√2x + 12 = 0 и проверить корни по теореме, обратной теореме Виета.

Решение

$D = (5\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 12 = 50 - 48 = 2$ .

x = \dfrac{5\sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{2}: \quad x_1 = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}, \quad x_2 = \dfrac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}.

Проверка: $x_1 + x_2 = 5\sqrt{2}$ — это второй коэффициент с противоположным знаком; $x_1 x_2 = 2\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} = 12$ — свободный член. По теореме, обратной теореме Виета, числа найдены верно.

Ответ

2√2; 3√2

Почему так

Если сумма чисел равна −p, а произведение q, то они — корни уравнения x² + px + q = 0.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить уравнение x² + 2√3x − 72 = 0 и проверить корни по теореме, обратной теореме Виета.

Решение

Второй коэффициент чётный: $k = \sqrt{3}$ .

$\dfrac{D}{4} = (\sqrt{3})^2 + 72 = 75$ , $\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ .

x = -\sqrt{3} \pm 5\sqrt{3}: \quad x_1 = -6\sqrt{3}, \quad x_2 = 4\sqrt{3}.

Проверка: $x_1 + x_2 = -2\sqrt{3}$ — второй коэффициент с противоположным знаком; $x_1 x_2 = -6\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = -72$ — свободный член. Корни найдены верно.

Ответ

−6√3; 4√3

Почему так

Сумма корней равна −2√3, произведение −72 — значит, по обратной теореме Виета это корни уравнения.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить уравнение y² − 6y + 7 = 0 и проверить корни по теореме, обратной теореме Виета.

Решение

$\dfrac{D}{4} = 9 - 7 = 2$ , $y = 3 \pm \sqrt{2}$ .

Проверка: $(3 - \sqrt{2}) + (3 + \sqrt{2}) = 6$ , $(3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2}) = 9 - 2 = 7$ . Сумма равна $$6$$ , произведение $$7$$ — корни найдены верно.

Ответ

3 − √2; 3 + √2

Почему так

Сумма корней 6 и произведение 7 совпадают с −p и q уравнения — обратная теорема Виета подтверждает ответ.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить уравнение p² − 10p + 7 = 0 и проверить корни по теореме, обратной теореме Виета.

Решение

$\dfrac{D}{4} = 25 - 7 = 18$ , $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ , $p = 5 \pm 3\sqrt{2}$ .

Проверка: $(5 - 3\sqrt{2}) + (5 + 3\sqrt{2}) = 10$ , $(5 - 3\sqrt{2})(5 + 3\sqrt{2}) = 25 - 18 = 7$ . Корни найдены верно.

Ответ

5 − 3√2; 5 + 3√2

Почему так

Сумма корней 10, произведение 7 — по обратной теореме Виета это корни уравнения p² − 10p + 7 = 0.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-764/