Какие утверждения об уравнении x^2 + 4x - 21 = 0 верны?

Сумма корней равна −4

Корни имеют разные знаки

Произведение корней равно 21

Чему равна сумма корней уравнения x^2 + x + 5 = 0?

Корней нет, вопрос не имеет смысла

Теорема Виета — 8 класс, алгебра: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Формула корней квадратного уравнения

Коротко о главном

Если приведённое квадратное уравнение $$x^2 + px + q = 0$$ имеет корни, то их сумма равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение — свободному члену. Верно и обратное: числа с суммой $$-p$$ и произведением $$q$$ — корни этого уравнения.

x_1 + x_2 = -p, \qquad x_1 x_2 = q

Подробное объяснение

Загадка про грядку

Папа говорит: «Я вскопал прямоугольную грядку площадью 21 м², а половина её периметра — 10 м. Какие у неё стороны?» Если стороны $$x_1$$ и $$x_2$$ , то $$x_1 + x_2 = 10$$ и $$x_1 x_2 = 21$$ . Почти сразу хочется ответить: 3 и 7. А ведь это ровно корни уравнения $$x^2 - 10x + 21 = 0$$ . Получается, сумма и произведение корней «зашиты» прямо в коэффициенты уравнения. Это и есть теорема Виета. Она названа в честь французского математика XVI века Франсуа Виета — одного из первых, кто стал обозначать числа буквами и записывать уравнения в общем виде.

Приведённое уравнение

Квадратное уравнение называют приведённым, если первый коэффициент равен 1: $$x^2 + px + q = 0$$ . Любое уравнение $$ax^2 + bx + c = 0$$ можно сделать приведённым, разделив обе части на $$a$$ :

x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{c}{a} = 0.

Прямая теорема

Если у приведённого уравнения есть корни $$x_1$$ и $$x_2$$ , то

x_1 + x_2 = -p, \qquad x_1 x_2 = q.

Почему так? Корни равны $\dfrac{-p \pm \sqrt{D}}{2}$ . При сложении корни из дискриминанта взаимно уничтожаются и остаётся $$-p$$ . При умножении работает формула разности квадратов: $\dfrac{p^2 - D}{4} = \dfrac{p^2 - (p^2 - 4q)}{4} = q$ .

Для неприведённого уравнения $$ax^2 + bx + c = 0$$ :

x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}.

Важно: теорема говорит о корнях, которые существуют. Если $$D < 0$$ , корней нет, и никакой суммы корней тоже нет. Когда $$D = 0$$ , считают, что уравнение имеет два равных корня, и теорема тоже верна.

Обратная теорема

Если числа $$m$$ и $$n$$ таковы, что $$m + n = -p$$ и $$mn = q$$ , то они — корни уравнения $$x^2 + px + q = 0$$ . Это удобно в двух случаях:

проверка: нашли корни по формуле — сложите и перемножьте их, сравните с коэффициентами;
подбор: если корни целые, их можно угадать, не считая дискриминант.

Знаки корней без решения

Произведение $$q < 0$$ — корни разных знаков. Произведение $$q > 0$$ — корни одного знака: оба положительны, если сумма $$-p > 0$$ , и оба отрицательны, если $$-p < 0$$ . Только не забудьте проверить, что корни вообще есть.

Как решать задачи

Проверьте, что корни существуют: $D \ge 0$ . Если $$a$$ и $$c$$ разных знаков, это выполнено автоматически.
Запишите $$p$$ и $$q$$ (для неприведённого уравнения — $-\dfrac{b}{a}$ и $\dfrac{c}{a}$ ).
Запишите теорему Виета: $$x_1 + x_2 = -p$$ , $$x_1 x_2 = q$$ .
Для подбора разложите $$q$$ на пары множителей и найдите пару с нужной суммой. Знаки определите по знакам $$q$$ и $$-p$$ .
Если нужна величина вроде $$x_1^2 + x_2^2$$ , выразите её через сумму и произведение: $$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$$ .
Если искали коэффициент или параметр, подставьте его обратно и проверьте, что $D \ge 0$ .

Разобранные примеры

База

Сумма и произведение корней

Условие

Найдите сумму и произведение корней уравнения $$3x^2 - 8x - 5 = 0$$ .

Решение

$$D = 64 + 60 = 124 > 0$$ — корни есть. Здесь $$a = 3$$ , $$b = -8$$ , $$c = -5$$ :

x_1 + x_2 = -\dfrac{-8}{3} = \dfrac{8}{3}, \qquad x_1 x_2 = \dfrac{-5}{3} = -\dfrac{5}{3}.

Ответ: Сумма 8/3, произведение −5/3

Средний

Подбор корней

Условие

Найдите подбором корни уравнения $$x^2 - 3x - 28 = 0$$ .

Решение

По теореме Виета $$x_1 + x_2 = 3$$ , $$x_1 x_2 = -28$$ . Произведение отрицательно — корни разных знаков, сумма положительна — больший по модулю корень положителен.

Пары множителей 28 — это $$1$$ и $$28$$ , $$2$$ и $$14$$ , $$4$$ и $$7$$ . Разность 3 даёт только пара $$4$$ и $$7$$ . Значит, корни $$-4$$ и $$7$$ . Проверка: $$-4 + 7 = 3$$ , $-4 \cdot 7 = -28$ .

Ответ: −4; 7

Сложный

Коэффициент по одному корню

Условие

Один из корней уравнения $$2x^2 + bx - 6 = 0$$ равен $$3$$ . Найдите другой корень и коэффициент $$b$$ .

Решение

$x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-6}{2} = -3$ , поэтому $x_2 = \dfrac{-3}{3} = -1$ .

$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{2}$ , то есть $3 + (-1) = 2 = -\dfrac{b}{2}$ , откуда $$b = -4$$ .

Проверка: $2 \cdot 9 - 4 \cdot 3 - 6 = 0$ и $2 \cdot 1 + 4 - 6 = 0$ .

Ответ: x₂ = −1; b = −4

Типичные ошибки

Забывают поменять знак у суммы

Почему неверно

Для $$x^2 - 5x + 6 = 0$$ пишут $$x_1 + x_2 = -5$$ . Но сумма равна второму коэффициенту с противоположным знаком: корни здесь 2 и 3, их сумма 5.

Как правильно

Выписывайте $$p$$ вместе со знаком: $$p = -5$$ , значит, $$x_1 + x_2 = -p = 5$$ . Знак у произведения не меняется: $$x_1x_2 = q = 6$$ .

Применяют теорему к неприведённому уравнению как к приведённому

Почему неверно

Для $$2x^2 - 6x + 4 = 0$$ пишут «сумма 6, произведение 4». Теорема в форме $$-p$$ и $$q$$ верна только при первом коэффициенте 1.

Как правильно

Разделите на старший коэффициент: $$x^2 - 3x + 2 = 0$$ . Сумма корней $$3$$ , произведение $$2$$ — то же даёт формула $-\dfrac{b}{a}$ , $\dfrac{c}{a}$ .

Находят «сумму корней» уравнения без корней

Почему неверно

У $$x^2 + 2x + 7 = 0$$ дискриминант $$4 - 28 < 0$$ , корней нет. Ответ «сумма −2» бессмысленен. Особенно коварно это в задачах с параметром: найденное значение может дать уравнение без корней.

Как правильно

Всегда начинайте с проверки $D \ge 0$ , а найденный параметр подставляйте обратно и снова проверяйте дискриминант.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Найдите сумму и произведение корней уравнения $$x^2 - 11x + 24 = 0$$ .

Подсказка

Уравнение приведённое. Сначала убедитесь, что дискриминант неотрицателен.

Решение

$$D = 121 - 96 = 25 > 0$$ — корни есть. По теореме Виета

x_1 + x_2 = 11, \qquad x_1 x_2 = 24.

Ответ

Сумма 11, произведение 24

База Задача 2

Найдите подбором корни уравнения $$x^2 + 2x - 15 = 0$$ .

Подсказка

Нужны два числа с произведением $$-15$$ и суммой $$-2$$ .

Решение

По теореме Виета $$x_1 + x_2 = -2$$ , $$x_1 x_2 = -15$$ . Произведение отрицательно — корни разных знаков, и отрицательный больше по модулю.

Среди разложений $15 = 1 \cdot 15 = 3 \cdot 5$ разность $$2$$ даёт пара $$3$$ и $$5$$ . Значит, $$x_1 = -5$$ , $$x_2 = 3$$ .

Ответ

−5; 3

Средний Задача 3

Найдите сумму и произведение корней уравнения $$4x^2 - 7x - 2 = 0$$ .

Подсказка

Уравнение не приведённое — используйте $-\dfrac{b}{a}$ и $\dfrac{c}{a}$ .

Решение

$$D = 49 + 32 = 81 > 0$$ . Здесь $$a = 4$$ , $$b = -7$$ , $$c = -2$$ :

x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{7}{4}, \qquad x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = -\dfrac{2}{4} = -\dfrac{1}{2}.

Ответ

Сумма 7/4, произведение −1/2

Средний Задача 4

Один из корней уравнения $$x^2 + px + 18 = 0$$ равен $$-3$$ . Найдите другой корень и коэффициент $$p$$ .

Подсказка

Произведение корней известно — это свободный член.

Решение

$$x_1 x_2 = 18$$ , поэтому $x_2 = \dfrac{18}{-3} = -6$ .

$$x_1 + x_2 = -p$$ , то есть $$-3 + (-6) = -9 = -p$$ , откуда $$p = 9$$ .

Ответ

x₂ = −6; p = 9

Сложный Задача 5

Сумма квадратов корней уравнения $$x^2 - 6x + q = 0$$ равна $$20$$ . Найдите $$q$$ .

Подсказка

$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$$ .

Решение

По теореме Виета $$x_1 + x_2 = 6$$ , $$x_1 x_2 = q$$ . Тогда

x_1^2 + x_2^2 = 36 - 2q = 20, \qquad q = 8.

Проверка существования корней: $$D = 36 - 32 = 4 > 0$$ (корни $$2$$ и $$4$$ , и $$4 + 16 = 20$$ ).

Ответ

q = 8

Сложный Задача 6

Составьте приведённое квадратное уравнение, корни которого равны $2 - \sqrt{3}$ и $2 + \sqrt{3}$ .

Подсказка

По обратной теореме Виета $$p$$ — сумма корней с противоположным знаком, $$q$$ — их произведение.

Решение

Сумма корней: $(2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$ , значит, $$p = -4$$ .

Произведение: $(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$ , значит, $$q = 1$$ .

Искомое уравнение: $$x^2 - 4x + 1 = 0$$ .

Ответ

x² − 4x + 1 = 0

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Предложите игру «угадай два числа»: вы говорите сумму и произведение, ребёнок угадывает числа (сумма 9, произведение 20 — это 4 и 5). Потом покажите, что эти числа — корни $$x^2 - 9x + 20 = 0$$ : подставьте их и убедитесь, что получается ноль. Обратите внимание на знаки: перед суммой в уравнении стоит «минус».

Вопросы для проверки понимания: 1) Чему равны сумма и произведение корней $$x^2 + 6x - 7 = 0$$ ? 2) Можно ли найти сумму корней $$x^2 + x + 1 = 0$$ ? Почему? 3) Как по уравнению $$x^2 - 8x + 15 = 0$$ понять, что оба корня положительны?

На что обратить внимание. Ребёнок должен сначала проверять, есть ли корни, и помнить, что теорема в форме « $$-p$$ и $$q$$ » — для приведённого уравнения. Подбор корней — удобный приём, но если подобрать не удаётся, нужно спокойно решать по формуле.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Алгебра. 8 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова)	§ 23	578, 579, 580, 581, 582, 583, 584, 585, 586, 587, 588, 589, 590, 591, 592, 593, 594, 595, 596, 597