Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 765

Дополнительные упражнения к главе III

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти b и решить уравнение 2x² + bx − 10 = 0, если оно имеет корень 5.

Решение

Подставим $$x = 5$$ и получим $2 \cdot 25 + 5b - 10 = 0$ , $$5b = -40$$ , $$b = -8$$ .

Уравнение $$2x^2 - 8x - 10 = 0$$ , или $$x^2 - 4x - 5 = 0$$ .

$\dfrac{D}{4} = 4 + 5 = 9$ , $x = 2 \pm 3$ , то есть $$x_1 = -1$$ , $$x_2 = 5$$ .

Ответ

b = −8; x₁ = −1, x₂ = 5

Почему так

Корень обращает уравнение в верное равенство — подставляем его и находим b, затем решаем уравнение.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найти b и решить уравнение 3x² + bx + 24 = 0, если оно имеет корень 3.

Решение

Подставим $$x = 3$$ и получим $$27 + 3b + 24 = 0$$ , $$3b = -51$$ , $$b = -17$$ .

Для уравнения $$3x^2 - 17x + 24 = 0$$ дискриминант $$D = 289 - 288 = 1$$ ,

x = \dfrac{17 \pm 1}{6}: \quad x_1 = \dfrac{16}{6} = \dfrac{8}{3}, \quad x_2 = 3.

Ответ

b = −17; x₁ = 8/3, x₂ = 3

Почему так

Подстановка известного корня даёт линейное уравнение для b.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Найти b и решить уравнение (b − 1)x² − (b + 1)x = 72, если оно имеет корень 3.

Решение

Подставим $$x = 3$$ и получим $$9(b - 1) - 3(b + 1) = 72$$ , $$9b - 9 - 3b - 3 = 72$$ , $$6b = 84$$ , $$b = 14$$ .

Для уравнения $$13x^2 - 15x - 72 = 0$$ дискриминант $D = 225 + 4 \cdot 13 \cdot 72 = 225 + 3744 = 3969 = 63^2$ ,

x = \dfrac{15 \pm 63}{26}: \quad x_1 = \dfrac{-48}{26} = -\dfrac{24}{13}, \quad x_2 = \dfrac{78}{26} = 3.

Ответ

b = 14; x₁ = −24/13, x₂ = 3

Почему так

Подставляем корень 3, находим b и решаем получившееся квадратное уравнение по формуле.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Найти b и решить уравнение (b − 5)x² − (b − 2)x + b = 0, если оно имеет корень 1/2.

Решение

Подставим $x = \dfrac{1}{2}$ и получим $\dfrac{b - 5}{4} - \dfrac{b - 2}{2} + b = 0$ . Умножим на 4:

$$b - 5 - 2b + 4 + 4b = 0$$ , $$3b - 1 = 0$$ , $b = \dfrac{1}{3}$ .

Уравнение $-\dfrac{14}{3}x^2 + \dfrac{5}{3}x + \dfrac{1}{3} = 0$ . Умножим на $$-3$$ и получим $$14x^2 - 5x - 1 = 0$$ .

$$D = 25 + 56 = 81$$ , $x = \dfrac{5 \pm 9}{28}$ , то есть $x_1 = -\dfrac{4}{28} = -\dfrac{1}{7}$ , $x_2 = \dfrac{14}{28} = \dfrac{1}{2}$ .

Ответ

b = 1/3; x₁ = −1/7, x₂ = 1/2

Почему так

Подстановка корня 1/2 даёт уравнение для b; после этого уравнение с дробными коэффициентами удобно умножить на −3.

Подробнее — в теме «Формула корней квадратного уравнения».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-765/