Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что уравнение 7x² + bx − 23 = 0 при любых b имеет один положительный и один отрицательный корень.
Решение
Дискриминант \(D = b^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-23) = b^2 + 644 > 0\) при любом \(b\), поэтому уравнение всегда имеет два различных корня.
По теореме Виета \(x_1 x_2 = \dfrac{-23}{7} < 0\). Произведение двух чисел отрицательно только тогда, когда они разных знаков. Значит, один корень положительный, другой отрицательный.
Ответ
Доказано: D = b² + 644 > 0, а произведение корней −23/7 < 0
Почему так
Отрицательное произведение корней по теореме Виета означает, что корни разных знаков.
Подробнее — в теме «Теорема Виета».