Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что уравнение 12x² + 70x + a² + 1 = 0 при любых a не имеет положительных корней.
Решение
Если уравнение не имеет корней, то положительных корней у него тоже нет.
Пусть корни есть (при \(D \ge 0\)). По теореме Виета
\[x_1 x_2 = \dfrac{a^2 + 1}{12} > 0, \qquad x_1 + x_2 = -\dfrac{70}{12} < 0.\]
Произведение положительно — корни одного знака; сумма отрицательна — значит, оба корня отрицательны. Положительных корней нет ни при каком \(a\).
Ответ
Доказано: произведение корней (a² + 1)/12 > 0, сумма −70/12 < 0, поэтому корни (если есть) отрицательны
Почему так
По знакам произведения и суммы корней из теоремы Виета определяем знаки самих корней.
Подробнее — в теме «Теорема Виета».