Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 768

Дополнительные упражнения к главе III

Задача 1

Условие (кратко)

Доказать, что если сумма коэффициентов уравнения ax² + bx + c = 0 равна нулю, то один из корней равен 1.

Решение

Подставим $$x = 1$$ в левую часть: $a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = a + b + c$ .

По условию $$a + b + c = 0$$ , значит, $$x = 1$$ обращает уравнение в верное равенство, то есть является корнем.

Второй корень по теореме Виета: $1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$ , то есть $x_2 = \dfrac{c}{a}$ .

Ответ

Доказано: при a + b + c = 0 число 1 — корень, второй корень c/a

Почему так

Подстановка x = 1 даёт ровно сумму коэффициентов; второй корень находится из произведения корней.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 2

Условие (кратко)

а) Используя свойство «сумма коэффициентов равна нулю», решить уравнение 2x² − 41x + 39 = 0.

Решение

Сумма коэффициентов: $$2 - 41 + 39 = 0$$ , значит, $$x_1 = 1$$ .

По теореме Виета $x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{39}{2} = 19{,}5$ .

Ответ

1; 19,5

Почему так

Сумма коэффициентов равна нулю, поэтому один корень 1, другой равен c/a.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 3

Условие (кратко)

б) Используя свойство «сумма коэффициентов равна нулю», решить уравнение 17x² + 243x − 260 = 0.

Решение

Сумма коэффициентов: $$17 + 243 - 260 = 0$$ , значит, $$x_1 = 1$$ .

По теореме Виета $x_2 = \dfrac{c}{a} = -\dfrac{260}{17} = -15\dfrac{5}{17}$ .

Ответ

1; −260/17

Почему так

Сумма коэффициентов равна нулю, поэтому один корень 1, другой равен c/a.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-768/