Задача 1
Условие (кратко)
Разность корней уравнения 3x² + bx + 10 = 0 равна 4 1/3. Найти b.
Решение
По теореме Виета \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{3}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{10}{3}\). По условию \(x_1 - x_2 = \dfrac{13}{3}\).
Воспользуемся тождеством \((x_1 + x_2)^2 = (x_1 - x_2)^2 + 4x_1 x_2\), поэтому
\[\dfrac{b^2}{9} = \dfrac{169}{9} + \dfrac{40}{3} = \dfrac{169 + 120}{9} = \dfrac{289}{9}.\]
\(b^2 = 289\), \(b = \pm 17\).
Проверка при \(b = 17\). Уравнение \(3x^2 + 17x + 10 = 0\), \(D = 289 - 120 = 169\), корни \(-\dfrac{2}{3}\) и \(-5\), разность \(-\dfrac{2}{3} + 5 = 4\dfrac{1}{3}\). При \(b = -17\) корни \(\dfrac{2}{3}\) и \(5\), разность та же.
Ответ
b = 17 или b = −17
Почему так
Квадрат суммы корней выражается через квадрат их разности и произведение, а сумма и произведение — через коэффициенты по теореме Виета.
Подробнее — в теме «Теорема Виета».