Задача 1
Частное корней уравнения 4x² + bx − 27 = 0 равно −3. Найти b.
Решение
Пусть \(x_1 = -3x_2\). По теореме Виета \(x_1 x_2 = -\dfrac{27}{4}\), \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{4}\).
\(-3x_2^2 = -\dfrac{27}{4}\), \(x_2^2 = \dfrac{9}{4}\), \(x_2 = \pm \dfrac{3}{2}\).
Если \(x_2 = \dfrac{3}{2}\), то \(x_1 = -\dfrac{9}{2}\), сумма \(-3\), тогда \(-\dfrac{b}{4} = -3\), \(b = 12\).
Если \(x_2 = -\dfrac{3}{2}\), то \(x_1 = \dfrac{9}{2}\), сумма \(3\), тогда \(b = -12\).
Проверка при \(b = 12\). Уравнение \(4x^2 + 12x - 27 = 0\), \(D = 144 + 432 = 576\), корни \(\dfrac{-12 \pm 24}{8}\), то есть \(1{,}5\) и \(-4{,}5\), и частное \(-4{,}5 \div 1{,}5 = -3\).
Ответ
Из условия на частное и произведения корней находим сами корни, а b — из их суммы по теореме Виета.
Подробнее — в теме «Теорема Виета».