Задача 1
Условие (кратко)
Квадрат разности корней уравнения x² + px + 90 = 0 равен 81. Найти p.
Решение
По теореме Виета \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = 90\).
\[(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = p^2 - 360.\]
\(p^2 - 360 = 81\), \(p^2 = 441\), \(p = \pm 21\).
Проверка при \(p = 21\). Уравнение \(x^2 + 21x + 90 = 0\), корни \(-6\) и \(-15\), \((-6 + 15)^2 = 81\). При \(p = -21\) корни \(6\) и \(15\).
Ответ
p = 21 или p = −21
Почему так
Квадрат разности корней равен квадрату их суммы минус учетверённое произведение — оба выражаются через коэффициенты.
Подробнее — в теме «Теорема Виета».