Задача 1
Условие (кратко)
Разность квадратов корней уравнения 2x² − 5x + c = 0 равна 0,25. Найти c.
Решение
По теореме Виета \(x_1 + x_2 = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{2}\).
\(x_1^2 - x_2^2 = (x_1 + x_2)(x_1 - x_2) = 2{,}5(x_1 - x_2) = 0{,}25\), откуда \(x_1 - x_2 = 0{,}1\).
Из системы \(x_1 + x_2 = 2{,}5\), \(x_1 - x_2 = 0{,}1\) находим \(x_1 = 1{,}3\), \(x_2 = 1{,}2\).
\(c = 2x_1 x_2 = 2 \cdot 1{,}3 \cdot 1{,}2 = 3{,}12\).
Проверка: \(D = 25 - 8 \cdot 3{,}12 = 0{,}04 > 0\), корни \(\dfrac{5 \pm 0{,}2}{4}\), то есть \(1{,}3\) и \(1{,}2\), и \(1{,}69 - 1{,}44 = 0{,}25\).
Ответ
c = 3,12
Почему так
Разность квадратов раскладывается на сумму и разность корней; сумма известна по теореме Виета.
Подробнее — в теме «Теорема Виета».