Задача 1
Условие (кратко)
Один из корней уравнения 4x² + bx + c = 0 равен 0,5, а другой — свободному члену. Найти b и c.
Решение
Корни \(x_1 = 0{,}5\) и \(x_2 = c\). По теореме Виета \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{4}\), поэтому
\(0{,}5c = \dfrac{c}{4}\), \(0{,}25c = 0\), \(c = 0\).
Тогда корни \(0{,}5\) и \(0\), их сумма \(0{,}5 = -\dfrac{b}{4}\), \(b = -2\).
Проверка: \(4x^2 - 2x = 0\), \(2x(2x - 1) = 0\), корни \(0\) и \(0{,}5\); второй корень равен свободному члену \(c = 0\).
Ответ
b = −2, c = 0
Почему так
Произведение корней по теореме Виета даёт уравнение для c, а сумма корней — значение b.
Подробнее — в теме «Теорема Виета».