Задача 1
Условие (кратко)
Квадрат разности корней уравнения x² + px + 405 = 0 равен 144. Найти p.
Решение
По теореме Виета \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1 x_2 = 405\).
\[(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = p^2 - 1620 = 144.\]
\(p^2 = 1764\), \(p = \pm 42\).
Проверка при \(p = 42\). Уравнение \(x^2 + 42x + 405 = 0\), корни \(-15\) и \(-27\), \((-15 + 27)^2 = 144\). При \(p = -42\) корни \(15\) и \(27\).
Ответ
p = 42 или p = −42
Почему так
Квадрат разности корней равен квадрату суммы минус учетверённое произведение.
Подробнее — в теме «Теорема Виета».