Задача 1
Условие (кратко)
x₁ и x₂ — корни уравнения 3x² + 2x + k = 0, причём 2x₁ = −3x₂. Найти k.
Решение
По теореме Виета \(x_1 + x_2 = -\dfrac{2}{3}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{k}{3}\).
Из условия \(x_1 = -\dfrac{3}{2}x_2\). Подставим в сумму: \(-\dfrac{3}{2}x_2 + x_2 = -\dfrac{1}{2}x_2 = -\dfrac{2}{3}\), \(x_2 = \dfrac{4}{3}\), \(x_1 = -2\).
\(k = 3x_1 x_2 = 3 \cdot (-2) \cdot \dfrac{4}{3} = -8\).
Проверка: \(3x^2 + 2x - 8 = 0\), \(D = 4 + 96 = 100\), корни \(-2\) и \(\dfrac{4}{3}\); \(2 \cdot (-2) = -4 = -3 \cdot \dfrac{4}{3}\).
Ответ
k = −8
Почему так
Условие на корни и формула их суммы дают сами корни, k находится из произведения.
Подробнее — в теме «Теорема Виета».