Задача 1
Условие (кратко)
x₁ и x₂ — корни уравнения x² − 8x + k = 0, причём 3x₁ + 4x₂ = 29. Найти k.
Решение
По теореме Виета \(x_1 + x_2 = 8\), \(x_1 x_2 = k\).
\(3x_1 + 4x_2 = 3(x_1 + x_2) + x_2 = 24 + x_2 = 29\), откуда \(x_2 = 5\), \(x_1 = 3\).
\(k = x_1 x_2 = 15\).
Проверка: \(x^2 - 8x + 15 = 0\), корни \(3\) и \(5\); \(3 \cdot 3 + 4 \cdot 5 = 29\).
Ответ
k = 15
Почему так
Из суммы корней по теореме Виета и данного условия находим корни, k равно их произведению.
Подробнее — в теме «Теорема Виета».