Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 781

Задача 1

Условие (кратко)

а) Уравнение x² + px + q = 0 имеет корни x₁ и x₂. Составить квадратное уравнение с корнями 3x₁ и 3x₂.

Решение

По теореме Виета $$x_1 + x_2 = -p$$ , $$x_1x_2 = q$$ .

Для новых корней:

3x_1 + 3x_2 = 3(x_1 + x_2) = -3p, \qquad 3x_1 \cdot 3x_2 = 9x_1x_2 = 9q.

По теореме, обратной теореме Виета, числа

\(3x_1\)

\(3x_2\)

— корни уравнения

\(x^2 - (-3p)x + 9q = 0\)

, то есть

\[x^2 + 3px + 9q = 0.\]

Проверка на примере: $$x^2 - 7x + 10 = 0$$ имеет корни 2 и 5; уравнение $$x^2 - 21x + 90 = 0$$ имеет корни 6 и 15.

Ответ

x² + 3px + 9q = 0

Почему так

Сумма новых корней равна −3p, произведение 9q; по теореме, обратной теореме Виета, получаем уравнение.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Уравнение x² + px + q = 0 имеет корни x₁ и x₂. Составить квадратное уравнение с корнями x₁ + 2 и x₂ + 2.

Решение

По теореме Виета $$x_1 + x_2 = -p$$ , $$x_1x_2 = q$$ .

Сумма новых корней:

\[(x_1 + 2) + (x_2 + 2) = -p + 4.\]

Произведение:

\[(x_1 + 2)(x_2 + 2) = x_1x_2 + 2(x_1 + x_2) + 4 = q - 2p + 4.\]

Искомое уравнение

\(x^2 - (4 - p)x + (q - 2p + 4) = 0\)

, то есть

\[x^2 + (p - 4)x + (q - 2p + 4) = 0.\]

Проверка на примере: при $$p = -7$$ , $$q = 10$$ (корни 2 и 5) получаем $$x^2 - 11x + 28 = 0$$ , его корни 4 и 7.

Ответ

x² + (p − 4)x + (q − 2p + 4) = 0

Почему так

Сумму и произведение новых корней выражаем через x₁ + x₂ = −p и x₁x₂ = q.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-781/